德国数学爱好者发现迄今最大素数 780多万位
德国数学爱好者发现迄今最大素数 780多万位设在美国奥兰多的梅森素数搜索组织２８日正式公布，德国一名数学爱好者近日发现了迄今最大的素数。这个素数有７８０多万位，可写成２的２５９６４９５１次方减１。
据德新社２８日报道，这个新发现的素数是梅森素数家族的第４２位成员，它也是目前已知最大的素数。这位名叫马丁·诺瓦克的数学爱好者是德国一名眼科医生，他利用主频为２．４ＧＨｚ的个人电脑运行梅森素数计算程序，经过５０多天的持续运算终于在２月１８日得到了这个７８１６２３０位的已知最大素数。它比此前发现的最大素数多５０万位。５天之后，一名法国专家独立验证了这一结果。
诺瓦克６年前从报纸上了解到有数万台电脑参加的“互联网梅森素数大搜索（ＧＩＭＰＳ）”活动，并于１９９９年开始参与这一寻找最大素数的活动。
我对这个消息本身不怎么感兴趣（因为素数已经够多了），但是据说有些研究计划是很多志愿者通过网络共同完成的，包括星区分辨等等，有兄弟能介绍一下吗？十分感谢，介绍的好会有威望奖励。
生成一个列表(Forming a list)
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很容易证明，如果 2P-1 是素数，则 P 也一定是素数。因此，搜索梅森素数的第一步就是生成一个用于测试的素数指数列表。
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试验分解因子(Trial Factoring)
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下一步是通过寻找小因子来排除一些指数。有一个非常高效的算法判断一个数是否能整除 2P-1。例如，让我们看一下 47 是否能够整除 223-1。把指数 23 转换成二进制数，我们得到 10111。从 1 开始，重复以下步骤：平方，删除指数的最左边二进位，如果该位是 1，则将平方后得到的值乘以 2，然后计算其除以 47 后的余数。
删除最左 如果需要就 除以47
平方 变二进位 乘以 2 的余数
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1*1 = 1 10111 1*2 = 2 2
2*2 = 4 0 111 no 4
4*4 = 16 1 11 16*2 = 32 32
32*32 = 1024 1 1 1024*2 = 2048 27
27*27 = 729 1 729*2 = 1458 1
因此，223 = 1 mod 47。两边同时减 1，223-1 = 0 mod 47。因此我们知道 47 是一个因子，从而 223-1 不是素数。
可以证明梅森数有一个非常好的性质：2P-1 的任何因子 q 必定是 2kP+1 的形式，并且 q 除以 8 的余数一定是 1 或者 7。最后，一个高效的程序可以利用任何可能的因子 q 必须是素数这一事实。
GIMPS 程序的分解因子代码使用修正的厄拉托森斯(Eratosthenes)筛法，利用一个二进位表示一个可能的 2kP+1 形式的因子。这个筛排除能够被大约 40,000 以下的素数整除的任何可能的因子。同样，表示除以 8 的余数是 3 或者 5 的可能的因子的二进位被清除。这个过程排除大约百分之九十五的可能的因子。剩下的可能的因子使用上面描述的高效的算法进行测试。
现在唯一的问题是要试验分解多少因子？答案取决于三个因素：分解因子的代价、发现一个因子的概率和素性测试的代价。我们使用以下公式：
分解因子的代价 < 发现因子的概率 * 2 * 素性测试的代价
也就是说，分解因子所花费的时间必须小于期望被节省的时间。如果能够发现一个因子，我们就能够避免进行首次素性测试和复查。
根据以前分解因子的数据，我们知道发现一个 2X 到 2X+1 之间的因子的概率大约是 1/X。本程序进行素性测试和分解因子所需的时间已经被计算出来。目前，本程序试图分解因子到：
指数上限 分解因子到
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3,960,000 260
5,160,000 261
6,515,000 262
8,250,000 263
13,380,000 264
17,850,000 265
21,590,000 266
28,130,000 267
35,100,000 268
44,150,000 269
57,020,000 270
71,000,000 271
79,300,000 272
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用 P-1 方法分解因子(P-1 Factoring)
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还有另外一个方法可被 GIMPS 程序用来搜索因子，因而避免进行素性测试的花费。这个方法叫做波拉德(Pollard)(P-1)方法。如果 q 是某数的一个因子，并且 q-1 是高度复合的(也就是说 q-1 只有小因子)，P-1 方法就可以找到因子 q。
该方法用于梅森数时甚至更高效。回忆一下，因子 q 只能是 2kP+1 的形式。只要 k 是高度复合时，就很容易修改 P-1 方法去搜索因子 q。
P-1 方法是十分简单的。在第一阶段我们挑选一个边界 B1。只要 k 的所有因子都小于 B1(我们称 k 为 B1-平滑(B1-smooth))，P-1 方法就能找到因子 q。我们首先计算 E = (比 B1 小的所有素数的乘积)。然后计算 x = 3E*2*P。最后，检查 x-1 和 2P-1 的最大公约数，就可以知道是否找到一个因子。
使用第二个边界 B2, 我们可以改进波拉德算法，达到第二阶段。如果 k 在 B1 到 B2 之间刚好有一个因子，而其它因子都小于 B1，我们就能够在第二阶段找到因子 q。这个阶段要使用大量的内存。
GIMPS 程序使用该方法去寻找一些给人印象深刻的因子。例如：
22944999-1 能够被 314584703073057080643101377 整除.
314584703073057080643101377 等于 2 * 53409984701702289312 * 2944999 + 1.
值 k, 53409984701702289312, 是非常平滑的:
53409984701702289312 = 25 * 3 * 19 * 947 * 7187 * 62297 * 69061
GIMPS 如何智能地选择 B1 和 B2 呢？我们使用试验分解因子方法中的公式的变种。我们必须使下式取得最大值：
发现因子的概率 * 2 * 素性测试的代价 - 分解因子的代价
发现因子的概率和分解因子的代价都依赖于 B1 和 B2 的取值。当 k 是 B1-平滑 或者 k 是 B1-平滑 并且在 B1 到 B2 之间刚好有一个因子时，迪克曼(Dickman)函数(参见克努特(Knuth)的《计算机程序设计艺术》第二卷(译注:中文版第347页))用来确定发现因子的概率。本程序尝试许多 B1 的值，如果有足够的可用内存的话也尝试一些 B2 的值，用以确定使以上公式取得最大值的 B1 和 B2 的值。
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卢卡斯-莱默测试(Lucas-Lehmer testing)
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卢卡斯-莱默素性测试是非常简单的：如果 P > 2， 2P-1 是素数当且仅当 SP-2 = 0，其中，S0 = 4，SN = (SN-12 - 2) mod (2P-1)。例如，证明 27 - 1 是素数的过程如下：
S0 = 4
S1 = (4 * 4 - 2) mod 127 = 14
S2 = (14 * 14 - 2) mod 127 = 67
S3 = (67 * 67 - 2) mod 127 = 42
S4 = (42 * 42 - 2) mod 127 = 111
S5 = (111 * 111 - 2) mod 127 = 0
为了高效地实现卢卡斯-莱默测试，我们必须寻找对巨大的数进行平方及对 2P-1 取余的快速方法。自二十世纪六十年代后期以来，对巨大的数进行平方的最快速的算法是：把巨大的数分裂成小片形成一个大数组，然后执行快速傅里叶变换(FFT)，逐项平方，然后再进行快速傅里叶逆变换(IFFT)。参见克努特的《计算机程序设计艺术》第二卷“乘法能有多快？”一节(译注:中文版第267页)。1994年1月，由理查德·克兰多尔(Richard Crandall)和巴里·费金(Barry Fagin) 合著的题为“离散加权变换和大整数算术”的计算数学文章，引入了无理底数 FFT 的概念。这个改进使得计算平方的速度提高两倍以上，允许使用较小的 FFT，并且这一过程中自动执行了对 2P-1 取余步骤。虽然由于英特尔公司的奔腾处理器体系结构的原因，GIMPS 程序使用浮点 FFT，但彼得·蒙哥马利(Peter Montgomery)给出的一个纯整数加权变换的方法也能够被使用。
正如上一段所提到的，GIMPS 使用汇编语言编写的浮点 FFT 算法，充分利用流水线和高速缓存。因为浮点运算是不精确的，在每次迭代后浮点值舍入到整数。本来该有的整数结果和程序计算出来的浮点结果之间的差异叫做“卷折误差”。如果卷折误差超过 0.5 则舍入将产生不正确的结果 - 这意味着必须使用更大的 FFT。GIMPS 程序的错误检查确保最大卷折误差不超过 0.4。不幸地，这种错误检查的代价相当高，以致于不能在每次平方后都进行检查。存在另外一种代价很低的错误检查。FFT 平方的一个性质是：
(输入 FFT 值的和)2 = (输出 IFFT 值的和)
由于我们使用浮点数，我们必须将上式中的“等于”改为“约等于”。如果上式中两个值实质上不等，将给出一个在 readme.txt 文件中描述过的 SUMINP != SUMOUT 错误。如果输入 FFT 值的和是一个非法的浮点数(例如无穷大)，将给出一个 ILLEGAL SUMOUT 错误。不幸地，这种错误检查无法发现我们将在下一节中描述的所有错误。
卢卡斯-莱默测试发现一个新的梅森素数的概率有多大？一个简单的估计是再次利用发现一个 2X 到 2X+1 之间的因子的概率大约是 1/X 的事实。例如，你已经使用试验分解因子证明 210000139-1 没有比 264 小的因子，那么它是素数的概率是: 没有 65 二进位因子的概率 * 没有 66 二进位因子的概率 * ... * 没有 5000070 二进位因子的概率，即：
6465 5000069
-- * -- * ... * -------
6566 5000070
化简后得到：64 / 5000070，或者 1 / 78126。这个简单的估计不是很准确，它给出的公式是: (试验分解因子到多大的指数) / (指数/2)。进一步的工作表明更精确公式是：(试验分解因子到多大的指数-1) / (指数 * 欧拉常数(0.577...))。在上例中，是 1 / 91623。这个更精确的公式是未经证明的。
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复查(Double-checking)
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为了核实首次的卢卡斯-莱默素性测试没有出错，GIMPS 程序运行第二次素性测试。在每次测试期间，最终的 SP-2 的最低 64 二进位，叫做余数，被打印出来。如果它们相同，GIMPS 宣称该指数已经被复查。如果它们不相同，素性测试被再次运行直到最后出现匹配。和首次测试相匹配的复查，通常是在首次测试之后大约两年进行。GIMPS 分配复查给较慢的计算机，因为该指数比正在进行的首次测试的指数小，以便较慢的计算机能够在合理的时间内完成其工作任务。
GIMPS 复查采取进一步的防护措施以避免程序设计错误。在开始卢卡斯-莱默测试之前，S0 的值被左移随机的二进位。每次平方刚好加倍我们左移的 S 值。注意对 2P-1 取余的步骤仅是简单地将第 P 位以上的位移到最低有效位，因此没有信息丢失。为什么我们要自找麻烦呢？因为如果计算 FFT 的程序代码有错误，对 S 值的随机的移位确保第二次素性测试中的 FFT 算法处理一个和首次素性测试完全不同的值。一个程序设计错误几乎不可能产生同样的最终 64 二进位余数。
历史上，卢卡斯-莱默测试运行期间没有报告严重错误时，结果的错误率大致是 1.5%。卢卡斯-莱默测试产生的错误被报告的比率大约是 50%。作为记录，我没有把“ILLEGAL SUMOUT”作为严重错误统计。
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