我明天再看看,给其他兄弟一点机会.
好啊,不过我会对前五名只要答对都给一点奖励的.其实兄想想当时在这个学派里面……^_^ 是诺贝尔自然科学方面的奖金获得者吧 引用第26楼书乡访客于2006-02-16 00:01发表的“”:
是诺贝尔自然科学方面的奖金获得者吧
对不起啊，不是
只认出了左边那位，今日方知自己孤陋！
希尔伯特(Hilbert，David，1862～1943)德国数学家，生于东普鲁士哥尼斯堡(前苏联加里宁格勒)附近的韦劳。中学时代，希尔伯特就是一名勤奋好学的学生，对于科学特别是数学表现出浓厚的兴趣，善于灵活和深刻地掌握以至应用老师讲课的内容。1880年，他不顾父亲让他学法律的意愿，进入哥尼斯堡大学攻读数学。1884年获得博士学位，后来又在这所大学里取得讲师资格和升任副教授。1893年被任命为正教授，1895年，转入格廷根大学任教授，此后一直在格廷根生活和工作，于是930年退休。在此期间，他成为柏林科学院通讯院士，并曾获得施泰讷奖、罗巴切夫斯基奖和波约伊奖。1930年获得瑞典科学院的米塔格－莱福勒奖，1942年成为柏林科学院荣誉院士。
希尔伯特是一位正直的科学家，第一次世界大战前夕，他拒绝在德国政府为进行欺骗宣传而发表的《告文明世界书》上签字。战争期间，他敢干公开发表文章悼念“敌人的数学家”达布。希特勒上台后，他抵制并上书反对纳粹政府排斥和迫害犹太科学家的政策。由于纳粹政府的反动政策日益加剧，许多科学家被迫移居外国，曾经盛极一时的格廷根学派衰落了，希尔伯特也于1943年在孤独中逝世。
希尔伯特是对二十世纪数学有深刻影响的数学家之一。他领导了著名的格廷根学派，使格廷根大学成为当时世界数学研究的重要中心，并培养了一批对现代数学发展做出重大贡献的杰出数学家。希尔伯特的数学工作可以划分为几个不同的时期，每个时期他几乎都集中精力研究一类问题。
按时间顺序，他的主要研究内容有:不变式理论、代数数域理论、几何基础、积分方程、物理学、一般数学基础，其间穿插的研究课题有：狄利克雷原理和变分法、华林问题、特征值问题、“希尔伯特空间”等。在这些领域中，他都做出了重大的或开创性的贡献。
希尔伯特认为，科学在每个时代都有它自己的问题，而这些问题的解决对于科学发展具有深远意义。他指出：“只要一门科学分支能提出大量的问题，它就充满着生命力，而问题缺乏则预示着独立发展的衰亡和终止。”在1900年巴黎国际数学家代表大会上，希尔伯特发表了题为《数学问题》的著名讲演。他根据过去特别是十九世纪数学研究的成果和发展趋势，提出了23个最重要的数学问题。这23个问题通称希尔伯特问题，后来成为许多数学家力图攻克的难关，对现代数学的研究和发展产生了深刻的影响，并起了积极的推动作用，希尔伯特问题中有些现已得到圆满解决，有些至今仍未解决。他在讲演中所阐发的想信每个数学问题都可以解决的信念，对于数学工作者是一种巨大的鼓舞。他说：“在我们中间，常常听到这样的呼声：这里有一个数学问题，去找出它的答案！你能通过纯思维找到它，因为在数学中没有不可知。”三十年后，1930年，在接受哥尼斯堡荣誉市民称号的讲演中，针对一些人信奉的不可知论观点，他再次满怀信心地宣称：“我们必须知道，我们必将知道。”
希尔伯特的《几何基础》（1899）是公理化思想的代表作，书中把欧几里得几何学加以整理，成为建立在一组简单公理基础上的纯粹演绎系统，并开始探讨公理之间的相互关系与研究整个演绎系统的逻辑结构。1904年，又着手研究数学基础问题，经过多年酝酿，于二十年代初，提出了如何论证数论、集合论或数学分析一致性的方案。他建议从若干形式公理出发将数学形式化为符号语言系统，并从不假定实无穷的有穷观点出发，建立相应的逻辑系统。然后再研究这个形式语言系统的逻辑性质，从而创立了元数学和证明论。希尔伯特的目的是试图对某一形式语言系统的无矛盾性给出绝对的证明，以便克服悖论所引起的危机，一劳永逸地消除对数学基础以及数学推理方法可靠性的怀疑。然而，1930年，年青的奥地利数理逻辑学家哥德尔(K。G?del，1906～1978）获得了否定的结果，证明了希尔伯特方案是不可能实现的。但正如哥德尔所说，希尔伯特有关数学基础的方案“仍不失其重要性，并继续引起人们的高度兴趣”。
希尔伯特的著作有《希尔伯特全集》（三卷，其中包括他的著名的《数论报告》）、《几何基础》、《线性积分方程一般理论基础》等，与其他合著有《数学物理方法》、《理论逻辑基础》、《直观几何学》、《数学基础》。 呵呵，都找到左面这位啦，右面的也就不远啦。
Hilbert und Weyl
http://images.google.com/images?hl=en&lr=&newwindow=1&q=%22Weyl%22%20Hilbert&btnG=Search&sa=N&tab=wi
希尔伯特与其弟子外尔。此图片摄于20世纪中叶。
Hermann Weyl (November 9, 1885 - December 8, 1955) was a German mathematician. Although much of his working life was spent in Zürich and then Princeton, he is closely identified with the University of G鰐tingen tradition of mathematics, represented by David Hilbert and Hermann Minkowski. His research has had major significance for theoretical physics as well as pure disciplines including number theory. He was one of the most influential mathematicians of the twentieth century, and a key member of the Institute for Advanced Study in its early years, in terms of creating an integrated and international view.
Weyl published technical and some general works on space, time, matter, philosophy, logic, symmetry and the history of mathematics. He was one of the first to conceive of combining general relativity with the laws of electromagnetism. While no mathematician of his generation aspired to the 'universalism' of Henri Poincaré or Hilbert, Weyl came as close as anyone. Michael Atiyah, in particular, has commented that whenever he looked into an area, he found that Weyl had preceded him.
The similarity of the names sometimes led to his being confused with André Weil. A communal joke for mathematicians was that, each being of great stature, this was a rare example where such mistakes would not cause offence on either side.
Contents
1 Early life and interests
2 Geometric foundations of manifolds and physics
3 Foundations of mathematics
4 Mathematics of relativity
5 Topological groups, Lie groups and representation theory
6 Harmonic analysis and analytic number theory
7 Later career
8 Personality
9 Quotes
10 See also
11 References
12 External links and references
Early life and interests
Weyl was born in Elmshorn (a town near Hamburg), Germany.
From 1904 to 1908 he studied in G鰐tingen and Munich, mainly mathematics and physics. His doctorate was awarded at G鰐tingen under the direction of Hilbert and Minkowski. In 1910, he obtained a teaching post of private lecturer at G鰐tingen. He took a professorship at the Technische Hochschule in Zürich, Switzerland in 1913, where he remained until 1949.
Geometric foundations of manifolds and physics
See Weyl transformation, Weyl tensor
In 1913, Weyl published Die Idee der Riemannschen Fl鋍he (The Concept of a Riemann Surface), which gave a unified treatment of Riemann surfaces.
In 1918, he introduced the notion of gauge, and gave the first example of what is now known as a gauge theory. Weyl's gauge theory was an unsuccessful attempt to model electromagnetic field and the gravitational field as geometrical properties of spacetime. The Weyl tensor in Riemannian geometry is of major importance in understanding the nature of conformal geometry.
Foundations of mathematics
He became very interested in the foundational questions raised by the intuitionists. George Pólya and Weyl, during a mathematicians' gathering in Zürich (February 9, 1918), made a bet concerning the future direction of mathematics. Weyl predicted that in the subsequent 20 years, mathematicians would come to realize the total vagueness of notions such as real numbers, sets, and countability, and moreover, that asking about the truth or falsity of the least upper bound property of the real numbers was as meaningful as asking about truth of the basic assertions of Georg Hegel on the philosophy of nature.
The existence of this bet is documented in a letter discovered by Yuri Gurevich in 1995, and it is said that when the friendly bet ended, the individuals gathered cited Pólya as the victor (with Kurt G鰀el not in concurrence). After about 1928 Weyl had apparently decided that mathematical intuitionism was not to be reconciled with his enthusiasm for the thought of Husserl.
Mathematics of relativity
Weyl tracked the development of this field in physics in his Raum, Zeit, Materie (Space, Time, Matter) from 1918, reaching a 4th edition in 1922. His approach was based on the phenomenological philosophy of Edmund Husserl, specifically his 1913 Ideen zu einer reinen Ph鋘omenologie und ph鋘omenologischen Philosophie. Erstes Buch: Allgemeine Einführung in die reine Ph鋘omenologie . Apparently this was Weyl's way of dealing with Einstein's controversial dependence on the phenomenological physics of Ernst Mach. Husserl had reacted strongly to Frege's criticism of his first work on the philosophy of arithmetic and was investigating the sense of mathematical and other structures, which Frege had distinguished from empirical reference. Hence there is good reason for viewing gauge theory as it developed from Weyl's ideas as a formalism of physical measurement and not a theory of anything physical, i.e. as scientific formalism.
Topological groups, Lie groups and representation theory
See main articles Peter-Weyl theorem, Weyl group, Weyl spinor,Weyl algebra
From 1923 to 1938, Weyl developed the theory of compact groups, in terms of matrix representations. In the compact Lie group case he proved a fundamental character formula.
These results are foundational in understanding the symmetry structure of quantum mechanics, which he put on a group-theoretic basis. This included spinors. Together with the mathematical formulation of quantum mechanics, in large measure due to John von Neumann, this gave the treatment familiar since about 1930. Non-compact groups and their representations, particularly the Heisenberg group, were also deeply involved. From this time, and certainly much helped by Weyl's expositions, Lie groups and Lie algebras became a mainstream part both of pure mathematics and theoretical physics.
His book The Classical Groups, a seminal if difficult text, reconsidered invariant theory. It covered symmetric groups, full linear groups, orthogonal groups, and symplectic groups and results on their invariants and representations.
Harmonic analysis and analytic number theory
Weyl also showed how to use exponential sums in diophantine approximation, with his criterion for uniform distribution mode 1, which was fundamental step in analytic number theory. This work applied to the Riemann zeta function, as well as additive number theory. It was developed by many others.
Later career
In 1928 and 1929, he was a visiting professor at Princeton University.
Weyl left the professorship at the Technische Hochschule in Zürich, Switzerland, in the year of 1930 and he became Hilbert's successor at G鰐tingen where he held the chair of mathematics. The rise of the National Socialism in Germany in 1933, resulted in Weyl accepting an offer of going to the Institute for Advanced Study; Weyl's wife Hella (nee Joseph) was Jewish and subject to the Nazi racial legislation.
There at Princeton he worked with Einstein. Weyl researched a unification of gravitation and electromagnetism. Weyl tried to incorporate electromagnetism in the geometrical formalism of general relativity.
Weyl's research was the framework for later explanations of the violation of nonconservation of parity, a characteristic of weak interactions between leptons, in particle physics.
Weyl worked at the IAS until retirement in 1952. He died in Zürich, Switzerland. 再来右边那一个的答案：
闵可夫斯基(1864~1909) Hermann Minkowski 俄国
??
??Hermann Minkowski 出生于俄国的 Alexotas (现在变成立陶宛的 Kaunas)。父亲是一个成功的犹太商人，但是当时的俄国政府迫害犹太人，所以当 Minkowski 八岁时，父亲就带全家搬到普鲁士的 Konigsberg (哥尼斯堡)定居，和另一位数学家 Hilbert 的家仅一河之隔。
??
??Minkowski 有两个哥哥，他是么弟。大哥 Max 在俄国时因为种族歧视，不能进学校读书，后来也一直没有受正规教育，长大后与他父亲一起经商，继承父业成为一个成功的商人。二哥就是发现胰岛素和糖尿病关 连的著名医学家 Oscar Minkowski，人称“胰岛素之父”。 Hermann Minkowski 本人则因数学才能出众，早有神童之名，后来更是优秀的数学家。他们兄弟三人都十分杰出，在 Konigsberg 曾经轰动一时。
??
??1873年，Minkowski 进入艾尔斯塔特预科学校读书。他思考敏捷，记忆力极佳，很快就表现出数学天赋。不仅如此，Minkowski 熟读莎士比亚、席勒和歌德的作品，歌德的《浮士德》几乎可以全文背诵。这和大鸡慢啼的 Hilbert 不同。八年的预科学校课程，Minkowski 只花了五年半就完成学业。因此，虽然 Minkowski 比 Hilbert 小两岁，却早一年毕业。
??
??当时德国大学可以自由选择任何大学注册。Minkowski 先进入当地的大学，不久就转到柏林大学，三个学期后又回到 Konigsberg 大学。在大学期间，他曾先后受教于 Helmholtz、Hurwitz、Lindeman 、Kronecker、Kummer、Weber、Weierstrass 和 Kirchhoff (克希荷夫)等人。
??
??在 Konigsberg 大学，Minkowski 和 Hilbert 重逢，两人志趣相投，结为终生的挚友。1884年，年方25的数学家 Hurwitz 来到 Konigsberg 大学当副教授，很快地便和 Minkowski 及 Hilbert 建立起友谊，共同的科学爱好把他们紧密地结合在一起。每天下午五点，都可以看见他们三人在苹果园里散步，讨论当前的数学问题，时而低头苦思、时而滔滔不 绝，时而争辩，时而会心地哈哈大笑，旁人看来真是一群数学疯子。然而，这些讨论对他们各自的数学工作产生重要的影响。Hilbert 后来写道：
??
??在无数次的散步中，我们三人探究了数学科学的每一个角落。Hurwitz 学识渊博，他总是我们的带路人。
??大学期间，Minkowski 就曾因出色的数学工作而获奖。1881年，法国科学发出通告，悬赏求解一个数学难题：试证任何一个正整数都可以表成五平方数的和。年仅十七的 Minkowski 所做出的结果大大超过了原问题，然截稿日期已近，根据比赛规则需译为法文，但 Minkowski 已经来不及，事已至此，他还是决定投稿一试。翌年，大奖揭晓，由十八岁的 Minkowski 和英国著名数学家 Henry Smith 共同获奖。Minkowski 再次轰动 Konigsberg。
??
??1885年夏，Minkowski 在 Konigsberg 大学取得博士学位。服过短暂的兵役后，1886 年被聘为 Bonn 大学讲师。1891年柏林大学的数学教授 Kronecker 去世，引起德国各大学教授、副教授的变动。 Konigsberg 大学副教授 Hurwitz 调到苏黎世大学担任数学教授， Hilbert 则接任他的位置，Minkowski 则升为 Bonn 大学副教授。1895年，Hilbert 被 Klein 网罗到哥廷根大学，Minkowski 就接任他在 Konigsberg 大学的教授职位。1896年，Minkowski 转到苏黎世大学和 Hurwitz 共事。物理学大师 Einstein 曾是他的学生。1902年，Minkowski 也被 Klein 网罗，加入哥廷根大学的数学大师之林，一直到他过世为止。
??
??Minkowski 在1897年结婚，他的妻子 Auguste Adler 是 Konigsberg 附近一位皮革厂厂长的女儿。他们有两女儿。
??
??1909年1月10日，Minkowski 在正达创作力高峰时，突患急性阑尾炎，抢救无效，不幸于1月12日去世，年仅45岁。生前挚友 Hilbert 替他整理遗作，1911年出版《闵可夫斯基全集》 (Gesammelte Abhandlungen von Hermann Minkowski)。
??
??在科学上的贡献
??Minkowski 的主要工作在数论、代数和数学物理上。在数论上，他对二次型进行了重要的研究。在1881年法国大奖中，Minkowski 深入钻研了 Gauss、 Dirichlet、和 Einenstein 等人的论著。因为 Gauss 曾在研究把一个整数分解为三个平方数之和时用了二元二次型的性质，Minkowski 由前人的工作中认识到把一个整数分解为五个平方数之和的方法与四元二次型有关。由此，他深入研究了 n 元二次型，建立了完整的理论体系。这样一来，原题就很容易从更一般的理论中得出， Minkowski 交给法国科学院的论文长达140页，远远超出了原题的范围。
??
??Minkowski 此后仍继续研究 n 元二次型的理论。他透过三个不变量刻画了有理系数二次型有理系数线性变换下的等价性，完成了实系数正定二次型的约化理论 (1905)，现称“Minkowski 约化理论”。
??
??当 Minkowski 用几何方法研究 n 元二次型的约化问题时，获得了十分精采而清晰的结果。他把用这种方法建立起来的关于数的理论为“数的几何”。由这里又引导出他在“凸体几何”方面的研究，这项研究的副产品就是著名的 Minkowski 不等式：
??
??{Σ(ak + bk)r}1/r ≦ {Σakr}1/r + {Σbkr}1/r
??Minkowski 早年就对数学物理有兴趣，在 Bonn 大学任职时，他就曾协助物理学家 Hertz 研究电磁波的理论。1905年以后，他几乎把所有的精力都放在电动力学上。 1907年，Minkowski 体悟到可以用非欧空间的想法来理解 Lorentz 和 Einstein 的工作，他认为过去一直被认定是独立的时间和空间的概念可以被结合在一个四维的时空结讲中：
??
??ds2 = c2dt2 + dx2 + dy2 + dz2
??这种结构后来被称为"Minkowski's World"。据此，同一现象的不同描述能用简单的数学方式表出。这些工作为狭义相对论提供了骨架。诺贝尔物理奖得主 M. Bonn 曾说，他在 Minkowski 的数学工作找到了“相对论的整个武器库”。Minkowski 在这方面的著述主要有1907年的 Raum und Zeit 和1909年的 Zwei Abhandlungen uer die Grundgleichungen der Elektrodynamik。 外尔，H(Weyl，Hermann)1885年11月9日生于德国的埃尔姆斯霍恩；1955年12月8日卒于瑞士苏黎世．数学，数学物理．
外尔出生在邻近汉堡的一个小镇上．父亲路德维希(Ludwig)是银行家，母亲安娜(Anna)在家里照料孩子．外尔在乡镇上度过了少年时代，并在阿尔托纳的一所文法中学读书．虽说乡下的孩子往往比较闭塞，见识不广，但外尔在中学时已读过Ⅰ．康德(Kant)的《纯粹理性批判》(Critique of Puve Reason，1781)．他回忆说：“这书立即打动了我的心．”
1904年，外尔从这所中学毕业．当时的校长是德国大数学家D．希尔伯特(Hilbert)的表兄弟，遂将外尔介绍到希尔伯特所在的格丁根大学攻读数学．从此，外尔踏上了数学之路，并成为日后希尔伯特的继承人．
在格丁根的第一年，外尔读了许多课程．其中包括希尔伯特的课“化圆为方与数的理论”．新世界的门向他打开了．1905年夏天，外尔带着希尔伯特的辉煌作品“数论报告”(Der Zahlbericht)回家去．他回忆说：“整个暑假我在没有初等数论和E．伽罗瓦(Galois)理论这些准备知识的情况下，自己尽力搞懂它．这几个月是我一生中最快乐的几个月，经历了我们共同分担的疑虑和失败的许多岁月之后，它的光辉仍抚慰着我的心灵．”外尔曾这样描述希尔伯特对青年人的影响：“他所吹奏的甜蜜的芦笛声，诱惑了许多老鼠追随他跳入数学的深河”．外尔自己就是这些“老鼠”中的一个．
在格丁根读了一年书之后，外尔按惯例要到另一所大学求学一年．他到了慕尼黑大学．1906年重返格丁根．1907年，外尔投入积分方程的研究．一年之后，以“奇异积分方程”(Equtionsintégrales singwlières)的论文获得博士学位．他在格丁根一直呆到1913年．1910年起任无薪讲师(privatdozent)，在讲授函数论等课程的同时，他开拓了新领域“黎曼面”．
1913年，外尔和J．海伦(Joseph Helen)结婚．海伦是格丁根大学哲学系的著名才女．他们有两个儿子．其中J．外尔也是数学家．父子曾合著《亚纯函数和解析曲线》(Meromorphicfounctions and analytic curves，1943)．
就在结婚的同一年，外尔受聘为位于苏黎世城的瑞士联邦工学院的教授．这时，大物理学家A．爱因斯坦(Einstein)也在那里执教，他们经常交谈．爱因斯坦的物理学新思想给外尔留下了深刻的印象．
1915年，正值第一次世界大战，外尔服了一年兵役．1916年重返苏黎世．此后的十余年，是外尔数学创造的全盛时期．外尔在苏黎世的生活是幸福的；他曾说，那时打扰他平静生活的最糟糕的事是外国大学请他去执教的一连串邀请．但是在内心深处，外尔仍然向往格丁根大学，希望回到希尔伯特身边．因为他的“根”在那里，他要到那里摄取营养，获得新的动力．1923年，格丁根大学邀他回去接替退休的F．克莱因(klein)．当时德国政治形势动荡，经济一团糟．外尔踌躇再三，拿着“接受邀请”的电文到电报局，可到了拍发时，又改变了主意，辞谢了邀请．1930年夏天，格丁根大学又邀他回去接替希尔伯特．尽管这时德国政治、经济形势仍然不好，但外尔终于接受了邀请．他写信给老师：“应召作为你的继任，我内心的欣喜和自豪是无法用言词来形容的”．
但是外尔在格丁根没有呆很长时间．30年代的德国，法西斯的浊流在到处蠢动，排犹的风潮越演越烈．外尔本人虽不是犹太人，可是他的妻子海伦是半个犹太人．1933年1月，希特勒上台，局势极度动荡，大批犹太科学家离开德国．作为格丁根大学数学研究所的领导人，整个春天和夏天，外尔写信，去会见政府官员，但什么也改变不了．夏日将尽，人亦如云散．外尔去瑞士度假，仍想回德国，希望通过自己的努力来保住格丁根的数学传统．可是美国的朋友极力劝他赶快离开德国：“再不走就太晚了！”美国普林斯顿高级研究院为他提供了一个职位．早在那里的爱因斯坦说服了外尔．从此，他和海伦在大西洋彼岸渡过了后半生．
到普林斯顿时，外尔已经48岁，数学家的创造黄金时期已经过去．于是他从“首席小提琴手”转到“指挥”的位置上．他象磁石一样吸引大批数学家来到普林斯顿，用他渊博的知识、深邃的才智给年轻人指引前进的方向．普林斯顿取代格丁根成为世界数学中心，外尔的作用显然是举足轻重的．无数的年轻人怀念外尔对他们的帮助，用最美好的语言颂扬他的为人，其中有一个是中国学者陈省身．1985年，陈省身回忆他和外尔的交往时写道：
“我1943年秋由昆明去美国普林斯顿，初次会到外尔．他当然知道我的名字和我的一些工作．我对他是十分崇拜的．……外尔很看重我的工作，他看了我关于高斯(Gauss)-博内(Bonnet)公式的初稿，曾向我道喜．我们有很多的来往，有多次的长谈，开拓了我对数学的看法．历史上是否会再有象外尔这样广博精深的数学家，将是一个有趣的问题．”
外尔在美国也继续做一些研究工作．他写的《典型群，其不变式及其表示》 (The classical group，their invariants and repre-sentations，1939)以及《代数数论》(Algebraic theory of numbers，1940)使希尔伯特的不变式理论和数论报告在美国生根开花．他的“半个世纪的数学”(A half-century of mathematics，1951)更成为20世纪上半叶数学的最好总结．他还在凸多面体的刚性和变形(1935)、n维旋量黎曼矩阵、平均运动(1938—1939)、亚纯曲线(1938)、边界层问题(1942)等方面作出贡献．
外尔的妻子于1948年逝世．1950年，他又和B．爱伦(Ellen)结婚．外尔在1951年退休，但他在普林斯顿的职位仍然保留着．以后他在普林斯顿和苏黎世两地居住．1954年，外尔在第十二届国际数学家大会上讲话，介绍菲尔兹奖获得者小平邦彦(小平邦彦，Kodaira Kunihiko)和J．P．塞尔(Serre) 的工作．第二年，70寿辰的祝寿活动之后不到一个月，外尔在邮局寄信时突然心脏病发作，于1955年12月8日与世长辞．
外尔的著作生前出版过选集．1968年，施普林格(Springer)出版社发行外尔的《论文全集》，(Gesammelte abhandlungen)，包括166篇文章，但不包括他的十几本书．
外尔一生的科学工作，可以分为四个时期：格丁根时期(1904—1913)；苏黎世时期(1913—1930)；第二格丁根时期(1930—1933)；普林斯顿时期(1933—1955)．他的数学工作几乎遍及整个数学．其中包括奇异积分方程、微分方程、数学物理方法、希尔伯特空间，吉布斯(Gibbs)现象、狄利克雷原理、模1分布、概周期函数、亚纯曲线变分学等分析课题，凸体的表面的刚性、拓扑学、微分几何中的联络、黎曼面等几何课题，李群的不变量、李群的表示、代数理论、逻辑等代数课题，以及相对论、量子论、哲学、科学史等课题．他的许多工作成为20世纪一系列重要数学成就的出发点．外尔的研究足迹紧紧追随着整个科学的进展，从广义相对论到量子力学，一直在科学的前沿上弄潮．许多人认为，时至今日，通晓整个数学的数学家似乎已经没有了．外尔也许是能做到这一点的最后一人．
外尔在格丁根时期的初期研究工作，可以说完全在希尔伯特的影响下进行．他在格丁根的博士论文题目正是希尔伯特当时钟爱的研究课题：积分方程．
1910年，外尔在为获得无薪讲师职位发表就职演讲时，作出了他在数学上第一个重要工作：二阶线性微分方程的奇异边界条件．众所周知，经典的斯图姆(Sturm)-刘维尔(Liouville)问题是求解自共轭微分方程
其中0≤x＜l，p(x)＞0，q(x)为实值函数，解y(x)必须满足下列边界条件：
y′(0)－wy(0)=0， (2)
y′(l)－hy(l)=0， (3)
这里w，h都是实数．这时，人们知道：当λ取一列非负实数λn(λn→∞)时，方程(1)存在非平凡解．这一数列称为方程的谱，每个λn称为方程的特征值(本征值)，相应的解yn(x)称为特征函数(本征函数)．这时yn(x)好象sin nx，cos nx一样可以作为正交基，使每个函数可以按yn(x)展为级数，正象函数关于cos nx和sin nx展为三角级数一样．
外尔研究l=+∞的奇异情形．他的想法是令λ取复数值．于是对给定的h，会存在复数w(λ，h)满足边界条件(2)，(3)．当h取遍一切实数值时，点w(λ，h)在某圆Cl(λ)上．此时，外尔看到，当l→+∞时，Cl(λ)(λ固定)形成一族圆，其极限或者是圆或者是一点．这两种情形的出现与λ的选择无关．如果有“极限圆”，那么(1)的解都在[0，＋∞)上平方可积，而在“极限点”情形，(1)只有一个解(差一常数因子)是平方可积的．
在后来由冯·诺依曼(von Nenmann)创立的无界对称算子理论中，一个微分算子可以作自伴扩张的充要条件是两个亏指数n+和n-相等．外尔在这里提供了斯图姆-刘维尔算子P(x，D)(对称算子)进行自共轭扩张的第一个例子．在a＜x＜b情形，如果a，b分别趋于0和∞时都是极限点型，则n+=n-=0．算子P(x，D)已经是自伴的．如果0和∞分别是极限圆型和极限点型，则n+=n-=1，其自伴扩张用一个边界条件得出．若二者都是极限圆型，则n+=n-=2，算子P(x，D)可用两个边界条件决定其自伴扩张．本世纪偏微分算子理论的长足进展，外尔的这一结果可说是其先驱．
外尔并没有停留在自伴扩张问题上．他将关于与离散谱λn相应的特征函数yn(x)的级数展开，推广到连续谱λ的特征函数yλ(x)的积分展开，从而为卡莱曼(T．Carleman)积分算子理论开辟了道路．更引人注目的是外尔对大物理学家H．A．洛伦兹(Lourentz)1910所提问题的回答．1910年，洛伦兹在格丁根讲演时提到，能否由听鼓声推知鼓的形状？这等于由一个椭圆方程△u+λu=0的本征值λn (即鼓膜振动的自然频率)来确定鼓膜形状．外尔研究了更一般的问题，提出了在希尔伯特空间H上的紧自伴算子特征值的直接计算方法(即不必先求出λ1，…，λn-1再来计算λn)，后人称之为“极大极小方法”，这套本征展开理论，为洛伦兹问题的解决提供了钥匙．人们要求知道当λ很大时，小于λ的特征值的个数N(λ)，其中
v是本征频率，v是波在鼓膜中的传播速度．外尔证明了
这里A是鼓膜的面积．这恰好证实了洛伦兹的猜想：频率在v和dv之间的充分高的谐波数目与边界的形态无关，仅和它围成的面积成正比．
这项工作相当漂亮．1954年5月，外尔在洛桑作演讲．当他回忆这段往事时，写了如下的话：
“这个问题的结论虽然在前些时候已被物理学家猜想到．然而对大多数数学家来说，这一结果似乎是在很遥远的将来才能作出证明的．当我狂热般地作出证明时，我的煤油灯已开始冒烟．我刚完成其证明．厚厚的煤烟灰就象雨一样从天花板上落到我的纸上、手上和脸上了．”
这套“听音辨鼓”的理论近几年又出现新的高潮，现在有了更精确的估计，甚至可以决定表示鼓上孔的数目的拓扑参数．将平面鼓膜推广到高维的流形上去，仍是成为许多人追逐的课题．
外尔在追随希尔伯特研究积分方程和微分方程之后，从1911到1912年开辟了自己的新研究方向：黎曼面．这时，外尔在格丁根大学讲授函数论课程．复值多值函数依靠黎曼
曼面的构造一直依靠直观想象，并用自然语言加以描述．外尔一面授课，一面构思严格的黎曼面理论．年仅26岁的外尔爆出了天才的火花．他将黎曼面R看成被R中各点的邻域U所覆盖，而每一邻域U又附以从U到复平面的映射ψu．外尔把所有由(U，ψu)构成的全体记作．如果满足(1)中所有U的并集即是R，(2)当V=U1∩U2非空上区域ψu2(V)到复平面区域ψu1(V)的复变函数．我们假)看作黎曼面．在20世纪数学史上，外尔的这一想法是划时代的(上面的叙述已采用现在常用的形式)．首先，他采用了邻域思想，无疑为点集拓扑学的出现催生．其次，黎曼面用现在的眼光来看乃是复一维流形．在20世纪大放异采的复流形理论即导源于此．第三，外尔指出，黎曼面的深入研究，“不只是使解析函数的多值性直观化的手段，而且是这个理论的本质部分，是解析函数能在其上生长和繁荣的唯一土壤”．它开创了现代函数论．第四，黎曼面的亏格、分类等导向同调和同伦论，为代数拓扑的诞生指引了方向．外尔这一工作，几乎影响了20世纪的整个纯粹数学．1913年《黎曼面的观念》(Die Idee der Riema-nnschen Flche)出版．从中人们可以看到希尔伯特的邻域公理化方法，L．E．J．布劳韦尔(Brouwer)使用的单纯形方法，H·庞加莱(Poincare)的基本群观念以及曲面的指向等严格理论．
外尔结束了格丁根大学的函数论教学工作．
外尔在苏黎世时期(1913—1930)的工作是极其辉煌的．他在1914年完成了关于模1等分布的研究，人们将它看作解析数论的新篇章．这一工作的发表因第一次大战而推迟到1916年．
所谓实数列｛xn｝以模1等分布，是指xn 的小数部分yn均匀地分布在［0，1］内，即对任何［0，1］的β，n)是指前n个实数x1，…，xn 的小数部分y1，…，yn落在［α，β］中的个数．｛xn｝模1等分布也可用积分描述为：对任何在上有界的黎曼可积函数f(x)，有
这就使我们能用分析工具来研究数论问题．但是使外尔最值得骄傲的是下列基本定理：
｛xn｝模1等分布的充要条件是：对任何非零整数h，当N→∞时
由此可以推出，若P(x)是首系数为无理数的多项式，则p(n)是等分布的．若θ是无理数，则实数列{nθ}是等分布的(这结果早些时候为P．博尔(Bohl)等数学家用纯算术方法得到过)．这一基本定理的证明借助于对多项式指数和的一项估计，现称为外尔不等式．多项式指数和与调和分析紧密相连，而外尔在研究微分算子谱论时成天与调和分析打交道，因而他从分析学转向数论研究乃是顺理成章的．多项式指数和问题与E．华林(Waring)问题(任何正整数k，总存在g(k)，使k可表示为S(≥g(k)个k次幂之和)及ζ函数的黎曼猜想(ζ函数的非显然零点全部都在直线Res=1／2上)等密切相关．这一工作后来为苏联的И．M．维诺格拉多夫所改进，用于堆垒素数论．我国的华罗庚及其学生们在这一方向上有突出的贡献．
1916年，当外尔从兵营回到工学院讲台时，爱因斯坦的广义相对论问世不久，一场物理学研究的浪潮席卷全球．外尔毫不犹豫地投身其中．1916到1917年，他在苏黎世的联邦工学院讲授相对论课程时，力图把哲学思想、数学方法以及物理学理论结合起来，用自己的思想清晰而严格地阐述广义相对论．讲稿在1918年以《空间、时间、物质》(Raum、Zeit、Malerie)的书名正式出版，五年之内再版五次，成为年轻人的心爱之物．大物理学家W．K．海森伯(Heisenberg)等都从此书中得到教益．
1917—1919这几年间，外尔在几何学与物理学上作出了巨大贡献．他受到爱因斯坦在广义相对论中研究引力场的鼓舞，企图提出一种既包括引力又包括电磁力的几何理论，即通过发展几何学来完成“统一场论”的构想．虽然“统一场论”经过努力(包括爱因斯坦本人的努力)至今仍未建立起来，但是外尔一系列的研究成果却深刻地影响着当代物理学的进展．
外尔首先对作为相对论数学框架的黎曼几何加以改造和扩展．黎曼几何依赖于一种度量，它是微分二次型：
曲率就依这一度量而确定．爱因斯坦的引力理论依赖于二次型，而电磁理论只依赖于一次型．外尔根据前人结果已看到曲率可以通过向量的平行移动而得到．在特殊情形下，这是容易理解的∶a，b是直线l上两点，a处向量Pa沿l平行移动到b处为Pb，此时Pa与l的夹角等于Pb与l的夹角，Pa沿l且保持与l夹角不变的移动称为平行移动．Pa沿l平行移动到b再平行移动回到a，夹角一直不动，夹角变化量为0，所以直线的曲率也是零．在半径为r的球面上一点a处有一向量Pa与过a的大圆l夹角为θ，当Pa沿大圆(测地线)作保持夹角不变的移动(平行移动)转一圈回到a时，向量Pa实际上转了一圈，增加了2π的幅角，
在黎曼几何中，曲线xi＝xi(t)，i=1，2，…，n(t1≤t≤t2)的长度S由积分表出：
这里gij是度量张量的共变分量．使这积分取得极值的曲线，即测地线满足方程
一个向量场vh(t)，如满足
则定义为vh(t)与曲线xh=xh(t)平行．由此可以看出：测地线的切
外尔注意到上面的平行定义与度量张量gij 没有直接关系，只与克里
时称vh(t)与xh(t)平行．
这样一来，黎曼几何就从度量束缚中解脱出来，而由一组函数向量(ξi )与邻近的点(xi +dxi )的平行向量(ξi +dξi )之间的关系为：
为仿射联络．这种空间称为仿射联络空间，黎曼空间只是其中的一个特例．外尔的这一思想无疑是稍后的E．嘉当(Cartan)的一般联络理论的源头．联络概念已构成现代微分几何的基础，其意义之重大正如分析学中的微分概念．
1918年，外尔发表了著名的论述统一场论的论文．他写道：“如果黎曼几何要与自然相一致，那么它的发展所必须基于的基本概念应是向量的无穷小平行移动…．但是一个真正的无穷小几何必须只承认长度从一点到它无限靠近的另一点作转移的这一原则．这就禁止我们去假定在一段有限距离内长度从一点转移到另一点的问题是可积的．…一种几何产生了”．这样，外尔的不可积标量因子的想法就产生了．电磁学在概念上可纳入一个不可积量因子的几何想法之中：电磁场依赖于一次型
加到dφ将不改变理论的物理内容，由此得到
有不变意义，Fμv 可看成等同于电磁场，其中φv =常数·Aμ ，Aμ 是电磁势．
该理论在变换dφ→dφ+d(log λ)下的不变性，即今天称为“规范不变性”的最早形式．
爱因斯坦对外尔的论文预印本十分关注，但后来明确表示反对这篇文章．结果爱因斯坦的意见作为按语加在外尔文章的后面，外尔又写了一个回答附在末尾．
爱因斯坦的异议是说，不可积标度因子理论如果正确，那么从0出发的两条路径，由于标度的连续变化，一般将会有不同大小，因而两个钟快慢将会不同，时钟依赖于每个人的历史，那就没有客观规律，也就没有物理学了．外尔对此作了回答，但未能消除爱因斯坦的异议．1949年，外尔回忆当时的心情说：“在苏黎世的一只孤独的狼——外尔，……很不幸，他太易把他的数学与物理的和哲学的推测混在一起了．”
1929年，外尔又回到这一课题．由于量子力学的推动，福克(Fock)和F．W．伦敦(London)在1927年指出：外尔的不可积标度因子应当是一个不可积的“相”因子．外尔在1929年的文章中写道：我曾经希望规范不变原理将引力和磁力统一起来而未获支持，但这一原理在量子论的场方程中有一个形式上的等价物，
一不变性和电荷守恒定律的关系仍与先前一样．…规范不变性原理具有广义相对论的特征…．外尔的这些观点对后世有许多影响，不可积“相”因子消除了爱因斯坦异议，并由实验证实．不过“统一场论”始终未完成．外尔对自己的研究一直注视着，直到去世前几个月，他在将1918年的规范理论的论文收入他自己的《论文全集》时，在“跋”中写了下列的话：
“我的理论最强的证据似乎是这样的：就像坐标不变性保持能量动量守恒一样，规范不变性保持了电荷守恒．”
外尔的规范理论启发了杨振宁：可以把规范理论从电磁学推广出去．这就产生了杨振宁-米尔斯(Miles)在1954年提出的非交换规范场理论．这一规范场理论在粒子物理中显示了强大的生命力，可惜那时外尔已退休，未曾注意及之．
外尔的数学研究总是和当代的物理学最新成就联系在一起．当1925—1926年量子力学刚刚产生的时候，外尔深入地从事李群及其表示的研究，并在1927年把这项研究与量子力学结合起来．1928年，名著《群论和量子力学》(Gruppentheorie und Quanten-mechanik)出版．差不多每一位在1935年之前出生的理论物理学家，都会在自己的书架上放上这本书．不过，几乎没有人去读它．对物理学家来说，这本书太抽象了．
1930年，在该书德文新版的前言中，外尔写道：
“质子和电子的基本问题已经用其与量子定律的对称性性质的关系来讨论了，而这些性质是与左和右、过去和将来以及正电和负电的互换有关．”
这里的左和右是指宇称守恒(P)，过去和将来是指时间反演不变(T)，正电和负电是指电荷共轭不变性(C)．诺贝尔物理奖获得者杨振宁博士曾评论说：“在1930年，没有人，绝对没有人以任何方式猜想这些对称性是彼此相关的，仅仅在50年代人们才发现他们之间的深刻联系．”
外尔非常喜欢对称，在1952年写过《对称》(Symmetry)的精美小书．也许因为太醉心于对称，他抛弃了自己提出的不满足左右对称的二分量中微子理论(1929)．28年以后的1957年，杨振宁和李政道发现了宇称不守恒，并由吴健雄等用实验证实．外尔的二分量中微子理论也得到重新肯定．这时外尔去世已经两年，人们无法听到这位理论物理先驱的评论了．
让我们再回到数学上来．外尔在本世纪20年代从事李群和李代数及其表示的研究，可说是外尔数学生涯中最光辉的篇章．
本世纪初，G．F．弗罗贝尼乌斯(Frobenius)和I．舒尔(Schur)等已完成复n阶方阵构成的一般线性群GL(n，c)的不可约有理线性表示的工作．由此可知行列式为1的特殊线性群SL(n，c)的所有有理线性表示是完全可约的．1913年，嘉当独立地完成单复李代数不可约线性表示的工作，并指出有限维半单李代数是完全可约的．
外尔创立一种新的方法，将注意力集中于大范围李群，仅把李代数作为一种工具．1897年A．胡尔维茨(Hurwitz)指出了一种对正交群或酉群构作不变量的途径：只须将有限群中普通的平均求和代之以紧群上关于不变测度的积分，他不仅研究特殊酉群SU(n)的不变量(韦尔称之为酉技巧)，而且处理了特殊线性群SL(n，c)的不变量问题．舒尔于1924年借助在SU(n)作用下该群的任何表示空间中一种对称数量积不变量的存在性，证明SU(n)的完全可约性，他又用酉技巧证明了SL(n，c)连续线性表示的完全可约性和SU(n)的特征标的正交关系．
从这些结果出发，外尔首先指出舒尔和嘉当的两种表示之间的联系，说明二者能一一对应的原因在于SU(n)是单连通的．其次他研究了正交群的双叶覆盖群的存在性．最后，外尔转入半单李群大范围理论的研究．这一工作之深刻令人叹为观止．
外尔首先指出，酉技巧不仅在典型群上有用．他证明，每个半单复李代数，可从一个紧李群的实李代数u 经过复化(com-plexification)而得到．嘉当曾逐类讨论过这一问题，外尔则用半单代数的根代数性质很快得出．这样，外尔建立了和u 的线性表示之间的联系．但是要用酉技巧，还必须证明确实存在以u 为李代数的紧李群Gu ，而且是单连通的．为了绕过这个困难，外尔证明了紧群Gu 的通用覆盖群也是紧的．可以说这一结果是外尔论文中最深刻最有活力的核心．
这一结果可以有极好的几何解释，因而有外尔“房”和外尔“墙”的概念产生．韦尔证明：Gu 的基本群是有限群，因而Gn 是紧群．极大环面T在Gu 中的作用和对角线矩阵群在SU(n)中的作用相似，即每个Gu 中元素是T中一个元素的共轭．Gu 的特征标的正交关系是重要工具．外尔最终提出一个大胆的想法：由“分解”Gu 的无限维线性表示来求得半单群的所有不可约表示．
李群的研究和群上调和分析紧密相连．他考虑Gu 上复值连续函数全体F．若按群Gu 上的不变测度定义积分，则F上可定义卷积
F于是构成群代数．如果考察算子R(f)∶g→f*g，则R(f)是紧的自伴算子，于是就可以用紧算子的谱分解理论加以研究了．更一般地，外尔研究了不变内积．他证明：n维线性空间V上的一般线性群GL(V)中的紧子群G，V上必存在关于G的不变内积：
利用这一定理，可直接决定所有紧复连通李群．即连通复紧李群必可交换，因此是复环面．外尔还得到：紧李群的李代数必具有不变内积(紧李代数)．
外尔的研究都有强烈的背景，丰富的思想和高度的技巧．他用自己的成果开辟了20世纪纯粹数学的新天地，并且表明“抽象”方法和传统的“硬”分析方法完全可以相比美．
作为希尔伯特的继承者，外尔确实发扬了希尔伯特的传统，且注入了时代精神．微分算子理论、模1等分布论、仿射联络理论、连续群论都可以在希尔伯特的积分方程、数论、代数不变量、物理学研究等研究中找到渊源，而相对论、量子力学、拓扑学方法、代数拓扑工具等则使他发展并超越了希尔伯特的范围．他们师生二人，可以说代表了20世纪上半叶的数学．
然而，他们两人并非完全一致．在数学基础上，外尔拥护布劳韦尔的直觉主义，不承认实无限，不准滥用排中律，不愿用选择公理．他的全部工作确实没有用G．康托尔(Cantor)的超限数理论，而且说康托尔的那一套是“雾中之雾”．外尔把布劳韦尔的观点介绍给希尔伯特，希尔伯特却极力反对直觉主义．希尔伯特倡导“形式主义”，企图证明包含自然数系统的数学体系是无矛盾的和相容的．但是希尔伯特也小心翼翼地把有限步可以达到的结论认为是最可靠的，所以外尔说希尔伯特“从布劳韦尔的直觉主义的启示中获益非浅．”1931年，K．哥德尔(Gdel)击破了希尔伯特的梦想．外尔平静地和希尔伯特讨论事情的前因后果，尽管两人的意见并未统一．
1932年，希尔伯特70寿辰．外尔写了生日祝辞，表达了他对恩师的崇敬与深情．1943年希尔伯特去世．外尔在《美国数学会公报》(Bulletin of American Mathematical Society，50，pp·612—654，1944)上发表了“大卫·希尔伯特及其数学工作”(DavidHilbert and his mathematical work)的长篇纪念文章(中译本见《数学史译文集》，上海科学技术出版社，1981)．
外尔在美国继续做过一些研究工作，例如凸体表面的刚性与形变(1935)，n维的旋量、平均运动(1938—1939)、亚纯曲线(1938)、边界层问题(1942)等．作为20世纪前半叶数学发展的见证人，他对克莱因、希尔伯特、诺特等大数学家的记述和评论，具有很高的历史价值．1950年，外尔在《美国数学月刊》(Monthly AMS)发表论文“半个世纪的数学”，是一篇极好的学术总结(中译本见《数学史译文集续集》，上海科学技术出版社，1985)．
最后，我们应当提到外尔的哲学研究．外尔对哲学终生不渝．他早年追随过康德哲学，后来受E．胡塞尔(Husserl)的影响很深．他的《空间、时间、物质》就是一部物理学、哲学和数学相结合的著作．他在哲学方面主要作品是《数学和自然科学的哲学》(Philosophie der Mathematik und Wissenschaften，1927)．书中的数学部分包括数理逻辑、公理学、数及连续统、无穷，以及几何学共三章，自然科学部分有空间时间与先验的外在世界、方法论以及世界的物理图景，也是三章．书中引用了一百多位哲学家、数学家和自然科学家的原著，对整个问题作了详尽而清楚的阐述．
在数学哲学方面，外尔早在1910年就写过论文“关于数学概念的定义”(ber die Definitionen der mathematischen Grundbe-griffe)．他将数学看作“一棵自豪的树，它自由地将枝头长入稀薄的空气，同时又从直觉的大地和真实的摹写中吸取力量”．在同一文章中，外尔认为“连续统的势的问题，必须从严密地建立集合论原理的途径去解决”．到了1918年，他出版了《连续统》(Das Ko-ntinuum)一书，成为一场集合论争辩的导火线之一．
进入20年代，外尔站在布劳韦尔一边，赞成直觉主义，反对希尔伯特倡导的形式主义．这在前面已经有所提及．但是外尔在晚年似乎力图调和这两方面的冲突．“数学中的公理方法与构造程序”(Axiomatic versus constructive procedures in mathematics)是外尔用英文写的遗作，大约写于1953年以后，1985年才公诸于世(The Mathematical Intelligencer vol．7，No．4)．文中说：“现代数学研究的大部分建立在构造程序和公理方法的巧妙结合之上．”例如他从域公理出发，用1a记α，2a记1α+α，3α记2α+α，如此继续，就得出α的倍数vα，即自然数全体．然后看是否有v使vα=0，表明域的特征数为有限(质数)或∞．
外尔曾设想，数学证明必须是一步一步地可被人的直觉检验的程序．现在四色问题的计算机证明已突破了外尔的要求，但是构造主义观点却由于计算机的发展而倍受重视．外尔说过：“哲学的反思伴随着历史的反思．”数学基础正以新的形式继续着争辩．尽管外尔的“调和”并未得到公认，可是历史也许会再次注意他的数学哲学观点．
外尔逝世已经40年了，但是整个国际数学界仍然时刻感到他的存在．他所创立的深刻数学思想至今还在起着指路灯的作用．他的工作一定会影响到下一个世纪．
http://www.cnmaths.com/zttj/HTML/zttj_125.html 左边这位是不是德国数学家希尔伯特啊？
希尔伯特（1862--1943年）德国数学家．希尔伯特是对二十世纪数学有深刻影响的数学家之一，他的数学贡献是巨大的和多方面的．希尔伯特的数学工作可以划分为几个不同时期，每个时期他几乎都集中精力研究一类问题．在他研究的许多领域中都作出了重大的或开创性的贡献．在1900年巴黎国际数学家代表大会上，希尔伯特发表了题为《数学问题》的著名讲演，他根据过去特别是十九世纪数学研究的成果和发展趋势，提出了23个最重要的数学问题，这23个问题通称希尔伯特问题，对现代数学的研究和发展产生了深刻的影响，有些问题已得到圆满解决，有些至今未解决．希尔伯特的《几何基础》（1899年）是公理化思想的代表作．希尔伯特的著作有《希尔伯特全集》《几何基础》《线性积分方程一般理论基础》等，与其他人合著有《数学物理方法》《理论逻辑基础》《直观几何学》《数学基础》．希尔伯特同时是一位出色的教师．他还以一位正直的学者而受到普遍的尊敬，他曾拒绝在德国政府为发动第一次世界大战辩护的宣言上签名，后来又对希特勒的排犹暴行表示极大愤概．希尔伯特生前享有很高的国际声誉．1910年荣获匈牙利科学院的波尔约数学奖．并且是许多国家科学院的荣誉院士。 右边这位是不是闵可夫斯基，赫尔曼阿？
我对数学是外行，高中数学还不及格过，嘿嘿。
以上纯属猜测，如果错了别见笑，
闵可夫斯基，赫尔曼(1864—1909)，德国数学家，阿尔伯特·爱因斯坦的老师。他提出了作为物理学相互作用舞台的四维时空概念。他是观测天文学家鲁道夫·闵可夫斯基 (Rudolph Minkowski，1895—1976)的叔叔，鲁道夫曾于1956年参与证认第一个已知河外射电源天鹅座X－1。
赫尔曼·闵可夫斯基1864年6月22日生于立陶宛(当时由俄国统治)的亚力克索塔斯。1872年他的家庭迁往当时德国境内的康尼斯堡(即今俄罗斯飞地加里宁格勒)，所以他就读康尼斯堡大学，1885年获博士学位，并在波恩大学执教。1894年回康尼斯堡大学任数学副教授。仅仅两年后，他前往苏黎世联邦技术大学，于1896—1902年任数学教授，在那里他成了爱因斯坦的老师。年轻的爱因斯坦尽管聪慧，但没有给他的老师们留下好印象，因为他漫不经心地对待正规课程。正是闵可夫斯基把爱因斯坦形容为‘对数学从不关心’的一条‘懒狗’。
1902年，闵可夫斯基被聘为格廷根大学的数学教授，并在那里度过余生。他主要从事纯数学研究，包括数论和几何学。正是通过他对三维以上数学和几何学的更抽象内容的理解，1908年他在科隆的一次演说中提出了四维时空概念。在那篇演说中，他的开场白为洞察狭义相对论意义的革命性新见解的形成布置了场地，而这一新见解不久就提供了发展广义相对论的线索：
我想展现在你们面前的关于空间和时间的看法是从实验物理学土壤中萌芽的，而这就是它们力量之所在。它们是彻底的。从今以后，单独的空间和单独的时间都注定如同阴影般消失，只有它们两者的某种联合能维持一种独立的实在。
这项研究成果在1909年1月14日闵可夫斯基因阑尾炎并发症逝世后同年发表。 左边是： 洛仑兹
Introduction:
Dutch physicist and joint winner (with Pieter Zeeman) of the Nobel Prize for Physics in 1902 for his theory of electromagnetic radiation, which, confirmed by findings of Zeeman, gave rise to Albert Einstein's special theory of relativity.
In his doctoral thesis at the University of Leiden (1875), Lorentz refined the electromagnetic theory of James C. Maxwell of England so that it more satisfactorily explained the reflection and refraction of light. He was appointed professor of mathematical physics at Leiden in 1878. His work in physics was wide in scope, but his central aim was to construct a single theory to explain the relationship of electricity, magnetism, and light. Although, according to Maxwell's theory, electromagnetic radiation is produced by the oscillation of electric charges, the charges that produce light were unknown. Since it was generally believed that an electric current was made up of charged particles, Lorentz later theorized that the atoms of matter might also consist of charged particles and suggested that the oscillations of these charged particles (electrons) inside the atom were the source of light. If this were true, then a strong magnetic field ought to have an effect on the oscillations and therefore on the wavelength of the light thus produced. In 1896 Zeeman, a pupil of Lorentz, demonstrated this phenomenon, known as the Zeeman effect, and in 1902 they were awarded the Nobel Prize.
Lorentz' electron theory was not, however, successful in explaining the negative results of the Michelson-Morley experiment, an effort to measure the velocity of the Earth through the hypothetical luminiferous ether by comparing the velocities of light from different directions. In an attempt to overcome this difficulty he introduced in 1895 the idea of local time (different time rates in different locations). Lorentz arrived at the notion that moving bodies approaching the velocity of light contract in the direction of motion. The Irish physicist George Francis FitzGerald had already arrived at this notion independently (see Lorentz-FitzGerald contraction, and in 1904 Lorentz extended his work and developed the Lorentz transformations. These mathematical formulas describe the increase of mass, shortening of length, and dilation of time that are characteristic of a moving body and form the basis of Einstein's special theory of relativity. In 1912 Lorentz became director of research at the Teyler Institute, Haarlem, though he remained honorary professor at Leiden, where he gave weekly lectures. 咋办呢，Dasha能看到200威的答案，眼瞅着兄弟们答错了
http://cover.duxiu.com/cover/Cover.dll?iid=6A69686E696D68716C6BA5A03134323837363639
http://www.duxiu.com/showbook?dxNumber=000000162905&d=2620C97719CCF7E66D8813A9CB6BECE4
图片在这本书的前言第23页，读秀上可以预览 马克思恩格斯 马克思 恩格斯 chi兄和newchomsky都猜对了左边的那位,猜错了右边那位,有趣的是两人把右边那位都猜到了同一位大学者,可惜不是啊.两位兄弟离答案不远了,我再提醒一下:这张照片上两位年龄还是有些差距的,恐怕1909年时左边那位不会那么老
dengyong_008和hooker兄犯一样的错误.
至于da兄我说什么好呢?兄不是存心拆我的台吗 ,按照规矩给兄一个威望,虽然兄都答对了.但是如此一来,超过200威的兄弟我就不能评分了.
xzj123MM你完全猜错了,对不起.
另:看兄的介绍似乎来自右边的那位的某本外文传记,若是,da兄我要啊,我非常想要,能否给我全文^_^（中文的那本我有） 看上去好熟悉的哦!我怎么想不起? 引用第39楼chjy02于2006-02-16 23:03发表的“”:
看上去好熟悉的哦!我怎么想不起?
兄再想想。 再提示一点点啊 左面那个难道不是洛仑兹吗?
如果是的话，洛仑兹显然是作为物理学家而闻名与世的 柯尔莫哥罗夫（А. Н. Колмогоров）,柯尔莫哥洛夫的父亲卡塔也夫(Николай Матвеевич Катаев)是农艺师兼作家，母亲柯尔莫哥洛娃(Мария Яковлевна Колмогорова)出身贵族．他们并没有办结婚手续，所以柯尔莫哥洛夫从母姓．十月革命后，卡塔也夫主持农业人民委员部教育部门，在1919年A．И．邓尼金(Деникин)进攻时死于南方战线．柯尔莫哥洛夫生后十天母亲就去世，他由姨妈薇拉(Вира)与娜捷日达(Надежда)抚育，生活在沿伏尔加河的雅洛斯拉伏尔(Ярославлъ)下游约20公里的图诺斯那村(Туношна)．她们都有民主思想，卒于50年代初．在柯尔莫哥洛夫幼年，两个姨妈努力引导他对书本和自然的兴趣，开拓他的好奇心，带他去田野、森林，给他讲花草树木的知识、星星与宇宙演化的故事、安徒生的童话……．她们办了一个有十个不同年龄的孩子组成的家庭学校，以适应当时新的教育模式．五六岁的他负责家庭杂志《春燕》(Beсенние Ласточки)的数学部分．在1963年发表的文章《我是如何成为数学家的》(Кат Я стал математиком)中写道：“在五六岁时我就领受到数学‘发现’的乐趣，我观察到
1=12，
1+3=22，
1+3+5=32
1+3+5+7=42
等等．我的发现被刊在《春燕》上，在那里还发表了我发明的算术问题(其中例如：要固定一个有四孔的扣子至少要用线缝合两个孔，问有多少种不同的固定办法？)．”孩子们还参加农庄劳动、收集柴火、自己缝扣子等等．1910年他进入莫斯科列普曼(Лепман)文法学校预班．该校崇尚自由，着重因材施教，学生可以自由选听高年级的课程，还采用了很多试验教学．在女性环境中成长的他特别珍视男孩特点的培养，诸如淘气、嬉闹、大胆、果敢、灵巧等．在该校他结识了A．Д．叶戈洛娃(Анна Демитриевна Егорова)．
她是通讯院士、历史学家П．H．叶戈洛夫(Егоров)之女，后于1942年在莫斯科与柯尔莫哥洛夫成婚，她卒于1988年．少年时他对生物、物理、历史、社会学、数学、俄国艺术、林业学都有浓厚的兴趣，在14岁就自习高等数学，还梦想在荒漠中创建法律至上的公社，并为此起草了宪法．
1920年他毕业于第23高中(即前列普曼文法学校)．他曾向往学冶金，因为在那时候人们认为工程比纯科学更为重要和必需．他同时在国立莫斯科大学物理数学系和门捷列夫(Менделеев)化工学院冶金系注册．但是不久以后他就下决心以数学为职业．他在莫斯科大学学习的同时又在门捷列夫化工学院数学部学习了一段时间，还参加了莫斯科大学历史系教授C．V．巴赫罗欣(Вахрушин)的讨论班．17岁的他对历史发生了兴趣，他曾对俄国诺夫格勒(Новгород)地区在15—16世纪房地产登记的资料，用数理统计进行科学分析并写出论文，得到了巴赫罗欣的赞赏．但是当他问能否发表时，得到的回答是：只有一个论据是不够的，必须有五个不同的论据．以后他专心致力于数学，因为数学问题只需一个证明就足够了．
在进入大学之前，他已有相当多的数学知识，他从《数学的新概念》(Новые идей в мате матике)一书中知道了集合论基础，他从《勃洛克豪斯与杰弗朗百科全书》(Brockhaus and Jefronencyclopedia)中学了很多专题，并用自己的语言改写了这些过于浓缩的内容．进入莫斯科大学后，他立刻通过了集合论和射影几何的免修考试．当时鲁金学派正处于顶峰时期，1921年他在H．H．鲁金(Луэин)的解析函数论课上，对鲁金的一个猜测举出了反例，得到П．C．乌里松(Урысон)的赞扬，成为乌里松的学生．在听了П．C．亚历山德罗夫(Александров)的课后，他发表了“作用于集合上的算子的理论”(Теории операций над множествами)，推广了E．波莱尔(Borel)、R．贝尔(Baire)、H．勒贝格(Lebesgue)、亚历山德罗夫和M．苏斯林(Суслин)等人的研究．1921年秋，他参加了B．B．斯捷班诺夫(Стенпанов)的三角级数讨论班，这对他以后的事业有特殊的重要性．1922年他解决了鲁金提出的构造一个系数收敛到零的任意慢的傅里叶级数问题．此后他又定期向鲁金学习，从而又成为鲁金的学生．在三角级数讨论班上，他还与Д．E．门晓夫(Меншов)建立了友谊．1922年，他取得了突出的成果，构造了几乎处处发散的傅里叶级数，它立刻使这位大学三年级的学生扬名世界(到1926年他进而构造了一个处处发散的傅里叶级数)，并开始了他长达60多年的高强度与高创造性的时期．1925年他毕业于莫斯科大学后成为鲁金的研究生，并开始与鲁金的另一个学生A．Я．辛钦(Хинчин)一起从事概率论的研究．1929年研究生学习结束后，他成为莫斯科大学数学力学研究所助理研究员．1934年在苏联首次建立了博士学位制度，翌年他被授予数学物理学博士学位．1930年1月他与亚历山德罗夫一起对德国和法国进行了10个月的访问．格丁根在当时是数学的“麦加圣地”，研究人员少而精，只有D．希尔伯特(Hilbert)、E．兰道(Landau)、R．柯朗(Courant)与S．N．伯恩斯坦(Bernstein)4位教授，那里的助教有K．O．弗里德里希(Friedrichs)，F．雷列希(Rellich)．H．莱维(Lewy)和E．诺特(Noether)的学生B．L．范·德·瓦尔登(Van der Waerden)等．希尔伯特时已66岁，即将退休，H．外尔(Weyl)已内定取代他的位子．柯尔莫哥洛夫与这些人广泛交往，与柯朗探讨了极限定理的领域，与外尔讨论了直觉逻辑，与兰道交换了对函数论领域的看法．继而，他前往慕尼黑与C．卡拉特奥多雷(Carathéodory)交谈自己关于测度论与积分论的思想．后者对前者的测度论思想很喜欢，坚持要他尽快发表，但是对他的推广的积分论反应冷淡．在法国，他与M．弗雷歇(Fréchet)讨论了马尔科夫链，与P．勒维(Levy)进行了长时间的科学讨论，并与老一辈数学家勒贝格、波莱尔等建立了联系．
1931年柯尔莫哥洛夫任莫斯科大学教授，开始指导研究生．1933年任莫斯科大学数学力学研究所所长(至1939年1月，后来在1951—1953年又任此职)．他在数学力学系创建了如下教研室：概率论(1935年，任主任至1966年)，数理统计(1976年，任主任至1980年)，数理逻辑(1980年，任主任至逝世)，概率统计方法(1960年，任顾问至1966年，任主任从1966年到1976年)．他对数学教学结构的形成起了很大作用，他创建了许多新课程，如数学分析Ⅲ、概率论、数理逻辑等．他教过的课程有数学分析、常微分方程、复函数与概率论、数理逻辑、信息论等．在这些课程中有的附有非常有趣的实践练习，如用多项式逼近函数、范特波尔(Vander Pol)型方程的积分、微分方程的奇点、最小二乘法、用网络来研究偏微分方程的积分等．他于1953年任莫斯科大学数学会名誉会员，后任理事长(1964—1966，1973—1985)．1954—1958年任莫斯科大学数力系主任．1939年，他被选为苏联科学院数理部院士、主席团委员、数理部科学秘书(1939—1942)、科学院斯捷克洛夫(Стеклов)数学研究所所长(1939—1958，1980至逝世)．
在30年代末至40年代初，他研究湍流，随后在苏联科学院地球物理研究所创建了大气湍流实验室(1946—1949)，以后该室发展成该所的主体部门．
在卫国战争中，他与M．B．凯尔迪希(Келдыш)一起研究枪炮的火力与轰炸的理论．
1949年，柯尔莫哥洛夫任《大百科全书》数学部主任与编委．他长期任期刊《数学科学的进展》(Успехи Матемдтических наук，?Russian Mathematical Surveys)的主编．他创办了期刊《概率论及其应用》(Теории Вероятностии и её пременении)及以中学生为对象的杂志《量子》(KBaHT)．他还主持撰写了数理系列丛书．
从1963年至逝世，他主要致力于文法学校的数学教学改革：编写教科书、编制教学大纲．1963—1968年，他任科学院科教委员会数学部主任．1968—1978年任教育部中学教科书委员会委员及数学部主任．他是莫斯科大学物理数学寄宿学校的创建人之一(1963)，而第18寄宿学校则以他命名．
他与辛钦关于随机过程的研究成果在1941年获国家奖，他与A．И．阿诺尔德(Арнолд)关于经典力学的研究在1965年获列宁奖．他两次获得科学院奖——1951年与Б．B．格涅坚科(Гнеденко)一起获车贝雪夫奖，1986年获罗巴切夫斯基奖．1963年，他荣获苏维埃劳动英雄称号．他还曾被授予十月革命勋章(1983)、劳动红旗勋章(1940)、七枚列宁勋章(1944—1975)及“在伟大的爱国战争中英勇劳动”奖章、金星奖章(1963)等．
他获得的国际荣誉称号有：巴黎大学名誉博士(1955)，罗马科学院通讯院士(1956)，波兰科学院外国院士(1956)，国际统计学研究所名誉成员(1957)，波士顿美国艺术与科学院名誉院士(1959)，斯德哥尔摩大学名誉科学博士(1960)，加尔各答印度统计研究所名誉科学博士(1962)，荷兰皇家科学院外国院士(1963)，伦敦皇家科学院外国院士(1964)，罗马尼亚科学院名誉院士(1965)，匈牙利科学院名誉院士(1965)，美国国家科学院外国院土(1967)，法国科学院外国院士(1968)，匈牙利“荣誉事业”(Honoris causa)科学博土(1973)，历史科学国际科学院名誉院士(1977)，民主德国科学院外国院士(1977)，联邦德国“有成就”(Pour le Mérite)勋章学会外国会员(1977)，芬兰科学院外国院士(1983)，等等．
他得到的国际奖有：国际巴尔桑(Balzan)奖(1963)，美国气象学会奖章，民主德国科学院赫姆霍兹(Helmholtz)奖章(1976)，匈牙利旂帜奖章(1975)，1980年鉴于他“在调和分析、概率论、遍历论和动力系统深刻而开创性的发现”而获得沃尔夫(Wolf)奖．
20世纪初以来，由于采用了集合论观点研究函数，从而推广了测度与积分、函数构造等概念，这就大大扩大了数学家们的视野．波莱尔、勒贝格等人为此都做出了重大贡献．苏联的Д．T．叶戈洛夫(Егоров)、鲁金、苏斯林进一步把函数与集合的研究推向新的高潮．柯尔莫哥洛夫正是在20—30年代鲁金学派的顶峰时期成长的．鲁金学派造就了苏联举世闻名的一批数学大师，柯尔莫哥洛夫是其中最杰出的代表．在这个时期，数学领域还出现了大量极有挑战性的问题，新思想、新方法、新探索、新成就相继出现，其中包括：H．庞加莱(Poincare)关于太阳系发展的永恒性问题(庞加莱称它为动力学基本问题)的提出，引导到哈密顿(Hamilton)系统在微扰下的稳定性的研究；L．巴舍利艾(Bache－lier)、A．爱因斯坦(Einstein)、M．V．斯摩罗霍夫斯基(Smo－luchowski)、N．维纳(Wiener)及勒维等长期研究的布朗运动的数学特性，揭示了随机过程的基本规律；大气物理的研究提出了湍流的统计规律刻画；格丁根学派领导人希尔伯特在20世纪初提出了23个对数学发展具有决定性影响的问题；当时函数论的研究正在从有限维扩展为无穷维，这就需要把函数论、拓扑与代数等结合起来以产生新概念、新学科．以上种种背景是柯尔莫哥洛夫从学生时代开始在数学上面临的一些客观使命．
他一生共写学术论文(包括合作)488篇，给《大百科全书》写114条，给科普报刊撰写57篇文章．
他是本世纪苏联最有影响的数学家，也是本世纪世界上为数极少的几个最有影响的数学家之一．他所有的开创性工作是俄罗斯民族的骄傲，也是世界人民的宝贵财富．他研究的领域非常广泛，几乎遍及一切数学领域，包括：函数的距离理论、描述集合论、数理逻辑与数学基础、概率论及随机过程、数理统计及其应用、几何、泛函分析、拓扑、微分方程、湍流理论、(武器的)火力理论、演算学与自动机、动力系统与经典力学、函数的迭合理论、信息论、算法概率论、遍历论、诗韵中的统计学等．他在这些领域的研究成果不仅被应用于数学本身的发展和开辟新的领域，而且在物理、化学、生物、地球物理、冶金学、结晶学、人工神经网络等学科中都有极重要的应用．
他的开创性研究可分三个时期．
第一个时期开始于1921年秋．大学二年级的他开始研究三角级数与集合上的算子等一系列复杂问题．1926年他构造了处处发散的一个傅里叶级数，直到1966年瑞典数学家L．卡勒逊(Carle-son)及1967年美国数学家R．亨特(Hunt)又证明了对p＞1，Lp函数的傅里叶级数处处收敛到这个函数，这就彻底解决了三角级数的发散问题(鲁金问题)．他于1922年定义的在集合上的δS运算是描述集合论中的基本运算．他对三角级数和正交级数的兴趣贯彻终生，不时地返回到这个领域，并安排年轻人继续进行研究，在这方面他发表的10篇文章中的每一篇都是延续至今的研究的起点．在这时期他在微分、积分、可测集等方面都做了重要的工作．此后他又转向数理逻辑与数学基础．20世纪以来，数学家对逻辑律的适用性、数学本质及集合论悖论发生了无休止的争论，产生了直观主义者，他们否认排中律在超限归纳中的有效性．柯尔莫哥洛夫在1925年证明：超限地使用排中律所得到的有限结论都是对的，而且都可以不用排中律来证明．他还构造了他的直观演算系统，从而创造了直观逻辑的另一种解释．1925年他证明了希尔伯特变换的一个车贝雪夫型不等式，这是M．里斯(Riesz)、A．济格蒙德(Zygmund)、G．H．哈代(Hardy)等著名数学家关于奇异算子弱型概念研究的起点．作为柯尔莫哥洛夫开创性成果的核心部分之一是概率论与随机过程．这一研究起始于他大学的第四年(1924年)，他与辛钦一起研究独立随机变量组成的级数的收敛性，得到了以后被称为柯尔莫哥洛夫三级数定理的成果，其中他首次使用了以后用他命名的不等式以及相应的下限估计，开创了概率论研究中的新方法．1928年他得到了独立随机变量列遵从大数律的必要且充分的条件．1930年他又得到了独立随机变量列遵从强大数律的一个非常一般的充分条件．这些结果至今是概率论教科书中的标准内容．1929年他又得到了独立同分布随机变量列的重对数律．他的结果和创用的方法是许多作者用来作为研究的泉源，其中如J．马辛凯维茨(Marcinkiewicz)和济格蒙德1937年证明了柯尔莫哥洛夫的结果中的一个小O条件不能改为大O；1941年P．哈特曼(Hartman)与维纳改进了柯尔莫哥洛夫的条件；1965年V．斯特拉森(Strassen)将其推广为泛函类型的重对数律．20世纪初，G．波尔曼(Bohlmann)曾企图给概率论建立一个公理系统．为此，波莱尔A．隆尼斯基(Lomnicki)、维纳相继在概率论中运用测度论，伯恩斯坦、R．冯·米赛斯(vonMises)也都企图建造概率论的公理化基础，但是都不很成功．柯尔莫哥洛夫在他1929年发表的文章“概率论与测度论的一般理论”(General measure theory and calculus of probabilities)，首次给出了测度论基础的概率论公理结构．5年以后该文编写成单行本，即如今在数学界众所周知的经典著作《概率计算的基本概念》(Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung)．概率论的公理化是他的巨大贡献，它使概率论从自然哲学领域真正转到数学的范围，使概率论被确认为数学的一个分支，并且日渐与其他数学分支相互渗透．著名日本数学家伊籐写道“读了柯尔莫哥洛夫的小册子《概率论基本概念》，我信服地认为概率论可以用测度论来发展，并且它也与其他数学分支一样地严格”．柯尔莫哥洛夫在这单行本的序言中还列出了无穷维空间的概率分布、条件期望，指出这些都源自物理问题．事实上它们也是随机过程论的必要基础．在50多年以后的今天，它的意义就更明显了，它是概率论划时代的著作，柯尔莫哥洛夫在1930夏完成的小册子《概率论中的解析方法》(ber,die analytischen Methoden in Wahrscheinlichkeitrechnung)开创了无后效随机过程(以后辛钦建议改名为马尔科夫过程)的一般理论的研究，把物理学家M．普朗克(Plank)、爱因斯坦、A．福克(Fokker)等在特殊情形得到的关于转移函数的一个积分方程一般化［以后称为恰普曼(Chapman)-柯尔莫哥洛夫方程］，并且由此导出了时间向前与向后的两个偏微分方程(称为柯尔莫哥洛夫方程)．在马尔科夫过程的发展中，他把傅里叶的传热理论、爱因斯坦与斯摩罗霍夫斯基的布朗运动理论、马尔科夫等人关于可几随机徘徊的描述与首次构造随机过程例子的巴舍利艾与维纳的思想结合在一起，抽象出了马尔科夫过程的一般模型．这个工作标志着概率论发展及其在物理、化学、生物、工程等方面的应用的新时期．在这个时期，他的另一文章“拉普拉斯-李雅普诺夫定理的推广”(An extention of Laplace－Lypunov theorem，1931)，给出了获得独立随机变量和的上、下界概率的渐近展开的基本方法．
柯尔莫哥洛夫开创工作的第二阶段始于1931年他被任为教授之后．这时期持续了1／4个世纪，在此期间他的研究兴趣极其广泛．1932年他发表了两篇关于几何的文章“射影几何证法”(Кобоснованиюпроективной геометри)和“拓扑几何”(Топологической геометрии)，用拓扑、群的观点研究几何．在他建议下，Л．庞特里亚金(Понтрягин)证明了具有可数基的连通局部紧拓扑域一定是实数域、复数域或四元数广域之一．在代数拓扑领域中上同调群是一个核心的概念．1936年柯尔莫哥洛夫与美国数学家J．W．亚历山大(Alexander)相互独立地构造了上同调群，并在其上定义了乘积运算，使之成为环，这在以后的研究(特别是连续映射)中极为重要．他在拓扑上的第二个贡献是给出了局部紧空间闭集的对偶律．1937年，他给出了一个从一维紧集到二维紧集的开映射，引起了苏联拓扑学家对开映射的兴趣．
这时期，概率论仍旧是他的主要专业之一，他非常重视随机过程的应用．1932年他积极参与了著名生物学家Д．Д．罗玛晓夫(Ромащов)领导的生物微演化的实验室．由于马尔科夫过程是动力系统在随机情形的对等物，两者互相渗透会产生很多新的概念和现象，所以马氏过程始终是许多研究的重点．1935年他又提出了可逆(对称)马氏过程的新模型，并给出了刻画其特征的充要条件．40多年后的今天，可逆马氏过程已成为统计物理、排队网络、模拟退火、人工神经网络、蛋白质结构等领域中十分常见的重要模型．在20年代末30年代初 B．德·菲乃蒂(de Finetti)提出了“无穷可分律”，指出了具有特征函数
和同分布，柯尔莫哥洛夫在1932年对具有二阶矩的随机变量给出了它具有无穷可分律的充要条件．以后，勒维证明了有限方差这个限制可以取消，随后辛钦又证明了这一结果仍可用柯尔莫哥洛夫的方法得到(最终的表达式称为无穷可分律的勒维-辛钦典则形式)．
柯尔莫哥洛夫还解决了一系列生物学问题，由此得到了十分有意义的纯数学的成果．他与И，Г彼得洛夫斯基(Петровский)及H．C．比斯库诺夫(Пискунов)合作的有关生物学的文章(1937)，首次构造了非线性扩散的行波型稳定解．他在其中的贡献是从物理方面定性地描述现象的图象，并把它表示为公式．生物学问题导致他提出了分枝过程的模型，并研究了它的灭绝概率(1947年)．1939年，他由分析统计资料验证了基因遗传的“孟德尔(Mendle)律”(当时基因与孟德尔律在苏联生物学界被批判为“唯心主义”、“反科学”的)．
1937年，他给出了在金属随机结晶过程中一个给定的点属于结晶团的概率与平均结晶的数目，这一结果在金属结晶化理论中至今仍是基本的结论．
1933年，他与M．A．列沃托维奇(Леотович)给出了A．K．伏拉索夫(Власов)提出的二维布朗质点为中心、半径为ρ的圆盘在t时刻前扫过的平均面积的渐近估计．
1936—1937年，他给出了可数状态马尔科夫链的状态分类．
在数理统计方面，1933年他定义了度量经验分布与理论分布最大偏差的(以后以他命名的)统计量，并推导了它的分布函数．这是分布拟合理论中拟合度的基本检验，已成为数理统计教科书的基本内容．
1935年他首次给出了巴拿赫空间上概率测度的特征泛函这一概念，并指出它在发展非线性量子理论中的重要性．
他在平稳随机过程方面的成就与维纳的成就并列为该领域最基本的成果．具连续谱的元阻尼随机运动是平稳过程的丰富源泉，平稳过程是概率特征不随时间变化的随机过程，常出现在无线电工程、自动控制等应用领域，是大量随机自然现象(大气、海洋等)的理想化．其中的一个重要问题是用过去的资料预测将来．他早于维纳(1941)得到了预测与内插的公式．维纳指出柯尔莫哥洛夫的研究是与控制学有关的信息统计理论相联系的．在柯尔莫哥洛夫的研究中应用了希尔伯特空间的几何理论．
平稳过程与平稳增量过程的研究使他得到了局部迷向湍流的近似表达式．流体有确定性的规律，但是其运动特征又极端复杂，可以把它看成随机过程．20世纪著名的工程师G．L．泰勒(Tay－lor)与T．冯·卡门(von Krmn)引进了迷向湍流，然而其结论与实验不符，柯尔莫哥洛夫用局部迷向湍流得到了著名的“柯尔莫哥洛夫2／3次律”：在特定条件下，湍流中距离为r的两点的速度差的平方平均与r2/3成正比．这个2／3律至今还被大气物理界公认为几乎是关于湍流的所有结果中最与实际相近的．1962年他又作了更为精确的修正．
他在概率论、随机过程与数理统计方面的贡献，说明他是随机数学领域的领导人．他不仅是一个多方面的数学家，而且是一个有惊人洞察力的应用数学家．
1949年格涅坚科与他一起发表的《独立随机变量和的极限分布》(Пределъные теолемы для сумм неэависимых случайныхвеличин)一书，总结了莫斯科学派当时在弱极限理论方面的世界领先的成果，成为弱极限理论的经典著作．
在逼近论方面，1935—1936年他研究了光滑性与逼近度的关系，引进了一种逼近的度量(以后称为柯尔莫哥洛夫直径)，开创了逼近论领域中的新方向．60年代以后柯尔莫哥洛夫直径受到了更大的重视．
在泛函分析方面，他在1931年得到了Lp空间中集合为紧的判别法．在1934年定义了线性拓扑空间与其中的有界集和凸集，得到了可正规化的经典判别法(存在0点的一个有界凸邻域)．1938年柯尔莫哥洛夫与И．M．盖尔范德(Гелъфанд)合作的文章是后者以后开创赋范环理论的源泉．他们证明了两个满足第一可数公理的拓扑空间的同胚性与在它们上的连续函数环间的代数同构性等价．
他的第三个开创性研究时期开始于50年代中期．这时，他的研究方向转向经典力学哈密顿系统、信息论、动力系统的遍历论、信息论与函数论的关系(ε熵)、希尔伯特第13问题和函数的迭合、有限自动机与复杂性理论等领域．
50年代中期他与B．A．乌斯宾斯基(Успенский)对算法与自动机理论的基本对象给出了广泛的定义．
在这时期他在动力系统方面的工作可分为两个系列．第一个系列是经典力学方面的．太阳系能否永恒发展而不会引起灾变？简单行星系是否只有三体系统才能稳定地运动？这个问题归结于研究近似可积系统的运动体系．庞加莱称它为哈密顿系统在微扰下的发展问题．它是动力学基本问题，可溯源到Ⅰ．牛顿(Newton)、P．S．拉普拉斯(Laplace)的研究．柯尔莫哥洛夫在50年代中期对具大量初始条件的情形解决了这个问题，开创了哈密顿系的微扰理论．从他的定理可推出：围绕木星作圆轨道转动的卫星，在经受沿椭圆轨道的木星运动的干扰下，并不能影响木星的椭圆轨道．他的理论还可用到大量力学、物理学问题中，解决了不对称刚体统定点高速旋转的稳定性、托卡马克(Токамак)型系统中磁面的稳定性等问题．他的思想后来被A．И．阿诺尔德(Арнолд)与J．莫泽(Moser)所发展，成为以他们三人命名的KAM理论．
他研究动力系统的第二系列是把信息论应用于研究系统的遍历性质．G．E．仙农(Shannon)用直观定义的熵有深刻的内涵，柯尔莫哥洛夫给出了严格的数学定义及推广，他引入了距离空间上的ε熵及ε容度作为逼近论中的崭新工具，1958年又进一步把熵参数引进动力系统的研究．30年代冯·诺伊曼证明了具有纯点谱并有相同谱点的两个动力系统(动力系统是指测度空间及其上的一个保测自映射)是同构的．柯尔莫哥洛夫和他的学生Ю．Г．希那依(Синай)定义了一个熵型不变量(以后称为柯尔莫哥洛夫-希那依嫡或K－S嫡)，用它来证明不同参数p(0＜p＜1)的伯努利模型虽然具相同的谱点，但是它们彼此并不同构，从而彻底回答了冯·诺伊曼问题(即具有相同谱的两个动力系统是否同构问题)．K－S熵至今是动力系统中最为成功的不变量(虽然它并不完备)，它的发现标志着动力系统理论有了崭新的开始．
希尔伯特第13问题是要证明方程f7＋xf3＋yf2＋zf+1=0的解f(x，y，z)不能表成两变量函数的叠合．柯尔莫哥洛夫在1956年证明：任意一个四变量连续函数都能表成三变量连续函数的叠合(这是他认为技巧性最复杂的成就，是他花费了一生中最长的连续思考时间所完成的)．翌年春，他的学生——三年级的大学生A．И．阿诺尔德(Арнолд)彻底解决了这个问题，推翻了希尔伯特的猜测．不久，柯尔莫哥洛夫又简化为如下的精美构造：任意整数n≥2，必有上的连续函数族｛ij(·)｝，使［0，1］n上任意连续函数j都能表成
这里i(·)是实数上连续函数．这个定理在如今已成为人工神经网络设计的理论基础．
这一时期柯尔莫哥洛夫继续保持着研究概率论的兴趣．1956年，他得到了用无穷可分律去一致逼近独立同分布随机变量的和的阶为n-1/5．1963年他又改进为n-1/3．1983年又被T．B．阿拉克(Apak)和A．Ю．沙以切夫(Эаицев)改进为最佳阶n-2/3．这个结果比经典正态近似的贝莱-艾森(Berry－Essen)界n-1/2精确得多．
1956年他与Ю．B．普罗霍洛夫(Прохоров)合作的关于距离空间上概率的弱收敛的文章总结了他们所开创的取值于函数空间的概率测度的弱极限理论，这些理论和1955—1956年A．B．斯格罗霍特(Скороход)引进的D空间理论构成了弱极限理论中具划时代性的成果．
60年代，柯尔莫哥洛夫又开创了两个新的数学分支——演算信息论和演算概率论．对一个n位二进列定义“复杂度”似乎很难避免某种任意性，他与R．J．索洛莫诺夫(Solomonoff)的基本发现是利用演算论可在不计有界项的差别的意义下定义“复杂度”，并使其任意性受到限制．在演算概率论中的一个重要问题是如何判断一个二进数列是随机的，冯·米赛斯早在20世纪初就提出：一个二进列为随机的，如果它对一类按某种容许选择规则选定的子列都有相对稳定的0出现率．柯尔莫哥洛夫在1963年拓广了这种选择规则(称之为频率法)．随后又与他的学生P．马丁-洛夫(Martin－Lf)和L．A．列温(Levin)用极大复杂度来定义随机性的新概念．1986年他和乌斯宾斯基在伯努利协会首届国际会议上作了“演算和随机性”的大会报告，这是随机性演算方法的极为重要的综述．
从60年代开始至1985年，柯尔莫哥洛夫一直保持着对语言学统计研究的兴趣．他引入了语言的熵，并把它分成语义信息与语言信息(剩余熵)，开创了语言统计学的新领域．
柯尔莫哥洛夫的开创性工作在数学的一系列重要领域中提供了新方法，打开了新思路，开辟了新方向，揭示了不同数学领域间的本质联系，并广泛地提供了它们在物理、化学、气象、生物、力学、工程、人工神经网络、金属结晶学、控制论、计算机、比较语言学等学科中的应用前景．他创造的大量构造方法和基本引理至今在不同领域中经常引用，其中绝大部分都已成为教科书和专著中的经典内容．
他的选集已出版了三卷：第一卷《数学与力学》，致力于确定性现象，也可以说是涉及“序”的领域；第二卷《概率论与数理统计》涉及随机过程与混沌现象；第三卷《信息论与算法论》，其基本思想是：序和随机及混沌之间并无明确界限．把随机性的思想归结为算法复杂性，力图揭示“序”与“混沌”的本质，是他开创生涯的统一源泉．在这观念下，他所研究的所有方面似乎都能融化为一体，统一的思想联系着概率论思想、算法论与数理逻辑结构、信息论方法与概念、动力系统与遍历论，以及研究自然现象的试图．而他的许多早期工作，包括函数论、描述集合论等都可视为他实现这一宏图的前奏．
他的主要贡献可以概括为：继承了牛顿、拉普拉斯、庞加莱的路线，试图解释太阳系运动永恒性的奥秘，并在这个问题上得到了满意的成果；解决了关于多变量函数基本结构的希尔伯特第13问题；开创了无后效过程的理论研究，在此基础上统一了傅里叶、普朗克、爱因斯坦、斯摩罗霍夫斯基的思想；发现了新的湍流统计规律，本质上发展了泰勒与冯·卡门理论；与辛钦、维纳一起给出了弱平稳过程的构造，并解决了信号滤波问题(现已成为石油探测数据处理中的重要数学方法)；引进了大量十分重要的数学概念(如线性拓扑空间、上同调、动力系统的熵、柯尔莫哥洛夫复杂性等)；对许多重要的基本概念作出了精辟的解释(如测度、积分、导数等)；研究了数学逻辑的基本结构；开创了十多个新的研究方向，并给出新方法．
柯尔莫哥洛夫进行科学研究的特点是：几乎在他所关心的所有领域，都首先创建了几个基本原理，接着让他的学生继续进行研究，达到深入完备的程度，最后吸引大量研究人员加入，写综合报道，出专集，开交流会议，形成科学方向和学派．他是他的学生领导的许多学派的奠基人．
对于学生，柯尔莫哥洛夫为他们创造了要求严格而且神圣的科学研究气氛．他具有激发他们创造力的能力，发现适合每个人特点的问题和任务．他与他们分享自己的思想，这些都使他的学生铭刻终生，
从30年代起，他就致力于领导全国数学奥林匹克，定时地给学生讲课．但是，他认为它的意义不仅在于体育式的竞赛，更重要的是发现数学天才并给他们以较为全面的数学知识训练而不是只教他们作一些特殊问题以便夺取冠军．他指出：奥赛的成功固然值得高兴与骄傲，但是失败了也不必伤感到看不见自己的能力，“在非常局限的时间内解答问题常使许多人感到困惑，而有些数学问题只可能在经长时间的孜孜不倦地冥思苦索，并引进新概念后才能得到解决．苏联著名拓扑学家亚历山德罗夫就解决了很多这类问题，这并非偶然．亚历山德罗夫多次说，他年轻时幸而没有数学奥赛，否则就很有可能使他不能成为数学家．亚历山德罗夫在数学上的成就绝非智慧火花的闪烁，而是长期深思熟虑的成果．”柯尔莫哥洛夫认为奥赛优胜者常会停留在对类似于奥赛的问题作精细加工，而并未达到解决那些需要冗长的推理和研究的数学问题的水准．为了补救这个不足，他及其他教授们就给优胜者举办暑期学校，给他们讲课(如有限域与布尔代数、集论、群论、力学、数论等)，并在莫斯科大学附设数理学校，让学生做大量习题，解决实际问题，还伴以音乐、文学、体育等活动．
他具有发现重要数学概念的能力，亚历山德罗夫诙谐地说过，数学天才有敏捷型与迟缓型两种，柯尔莫哥洛夫属于前者，而希尔伯特属于后者．然而柯尔莫哥洛夫的思想还不如他自己的洞察力与掌握问题的能力更敏捷，一些模糊而粗线条的“轮廓”常引起他的注意，并且立即被他纳进他的有次序而完备的系统中去，以求得到最终的解决．他对经典力学、遍历论、函数的迭合等基本问题的模糊思想在30年代中期就已开始酝酿，直到50年代中期才达到最终的确切形式．
柯尔莫哥洛夫把创造性才能分为演算性的、几何性的与逻辑性的．他非常善于与学生们交往，并把他们自己未意识到的能力发挥出来．
他喜爱旅行、滑雪、俄国诗与美术，尤其热爱油画与建筑．他与亚历山德罗夫的交往是互补的，后者是音乐、戏剧的鉴赏家．柯尔莫哥洛夫从不夸谈自己的成就、衔头与地位，并不看重金钱与物质条件，他把巴尔桑奖的奖金捐给了学校图书馆，而沃尔夫奖金他未曾去领取．柯尔莫哥洛夫为科学事业无私地贡献了他的光辉的一生．