画五角星

晓菁

读小学时，老师布置作业，要我们画五角星，我回家后问老爸该怎么画。老爸说，他读中学时老师教过，于是便拿出圆规和尺自顾自在纸上比划起来。没过多久，老爸兴奋地叫我过去，把画五角星的方法教给我，并让我重复了几遍，确信不会忘了才罢休。

第二天上算术课，老师问我们，五角星会画了吗？我把小手举得高高的，结果被老师叫到黑板前让我画给同学看。我按照老爸教的方法画好后，老师说，你这是碰巧了吧？你这样怎么能画得准确呢？应该要用量角器量出角度才能画得对！

我委屈得直想哭，回家后直埋怨老爸。

老爸显然有点生气了，说了句“连五角星都不会画，这老师数学水平太差”，就回到他的书桌旁去了。

过了一会儿，老爸递给我一张写了好多公式的纸，说道：“这是证明，你明天拿给老师去看去。”

我哪敢呀。

但这五角星的画法我却牢牢记住了，就像我老爸那样。

现在上了大学，我知道了，其实五角星还有好几种画法，老爸教的，是已知外接圆直径时的画法，最简单的一种。此外，已知五角星的宽度画五角星也很方便的，后来又看到了已知边长画正五边形的方法。

后来还知道了，已经证明，可以用尺和圆规，经过有限步骤，画出如下正P边形，如果P是2的幂次方，或者是个费马素数，或者是不同费马素数及其与2的幂的乘积。


五角星画法

方法一

画一圆，过圆心O画一条（水平）直线与圆相交于A，过圆心O画一条与OA向垂直的直线与圆相交于B，用圆规和直尺找出线段OA的中点C（可别说这也不会哦），以C点为圆心，线段BC的长度为半径画圆弧与OA的延长线在圆内相交于D，则线段BD的长度就是该圆内接正五边形的边长。

设圆的半径为1，得，BD=sqrt((5-sqrt(5))/2).


方法二

画一（水平）直线AB，用圆规和直尺找出线段AB的中点C，过B点作一垂线，以B点为圆心，线段BC的长度为半径画圆弧与该垂线相交于D，以D点为圆心，线段BD的长度为半径画圆弧与线段AD相交于E，过C点画一条与线段AB相垂直的直线，以A点为圆心，线段AE的长度为半径画圆弧与该垂线相交于F，则线段AF就是该正五边形的一条边长，线段AF与AB之间的夹角为36度。

设线段AB的长度为1，得，AF=sqrt(5)/2-1,线段AF与AB之间的夹角a = arccos(1/(sqrt(5)-1)).

以A点为圆心，线段AB的长度为半径画圆弧，以B点为圆心，线段BF的长度为半径画圆弧，两圆弧相交于G；以B点为圆心，线段AB的长度为半径画圆弧，以A点为圆心，线段AF的长度为半径画圆弧，两圆弧相交于H，则A、F、B、G、H分别为五角星的5个顶点。


方法三

画一（水平）直线AB，用圆规和直尺找出线段AB的中点C，过B点作一垂线，以B点为圆心，线段BC的长度为半径画圆弧与该垂线相交于D，以D点为圆心，线段BD的长度为半径画一圆，从A点出发画一过圆心D的直线并继续延伸至与圆弧相交于E，分别以A和B为圆心，以线段AE的长度为半径画两圆弧相交于F，分别以A和F为圆心，以线段AB的长度为半径画两圆弧在外侧相交于G，，分别以B和F为圆心，以线段AB的长度为半径画两圆弧在外侧相交于H，则A、B、H、F、G分别为五角星的5个顶点，线段AF与CF之间的夹角为18度。

设线段AB的长度为1，得，AF=(sqrt(5)+1)/2,线段AF与CF之间的夹角 b=a/2=arcsin(1/(sqrt(5)+1)).


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hong

我一直画不好，看来主要是方法问题啊！楼主好文笔！

醉乡常客

哈哈，这个文风好像似曾相识。

hufucopy

楼主的数学学的不错啊.

晓菁

我读的是应用数学专业，是数学家+工程师，70%理科，30%工科。

我们班级就我一个女生，所以虽然读书很辛苦，但很开心的，谁都愿意帮我，这感觉真好，嘻嘻。

钱一文

很有怀旧感，突然想起儿时，老爸变戏法般叠出一个五角星的一刹那。。

醉乡常客

引用第4楼晓菁于2007-07-09 21:08发表的 :
我读的是应用数学专业，是数学家+工程师，70%理科，30%工科。

我们班级就我一个女生，所以虽然读书很辛苦，但很开心的，谁都愿意帮我，这感觉真好，嘻嘻。

哈，哥在华理也混了两天应数二专哦～

zwh_hn

确实，要给学生一碗水，老师得有一桶水。

hufucopy

楼主和你父亲好好学习就可以了，他的知识你永远学不完的。

parivraj

引用第6楼醉乡常客于2007-07-09 21:45发表的 :

哈，哥在华理也混了两天应数二专哦～

醉哥在上海念大学来着？

scdymy

画这个还算简单

楼主钱真多

醉乡常客

十年前的事情了～～～～

parivraj

^_^，果然啊。
醉哥的年龄还挺好猜，哈哈。