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楼主: shenxiu

[科普教学♡] 问答  数学趣味类-《三角地带》√已有答案√欢迎拓展和应用√

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发表于 2007-12-29 20:10:15 | 显示全部楼层
引用第18楼jingmouren于2007-12-29 20:04发表的 :


从小学奥数上升到初中奥数了

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发表于 2007-12-29 20:17:38 | 显示全部楼层
引用第18楼jingmouren于2007-12-29 20:04发表的 :


从小学奥数上升到初中奥数了
那更加不会了
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发表于 2007-12-29 20:21:55 | 显示全部楼层
刚才说错了,应该是梅内劳斯定理!!!
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发表于 2007-12-29 20:25:26 | 显示全部楼层
好像能拓展成物理题艾

大S与小S有共同的重心,出公款 ,谁来证明?
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发表于 2007-12-29 20:28:52 | 显示全部楼层
参见11楼的附图。


S2 + S3 + S3a + S4 = 1/3  (1)
S4 + S5 + S5a + S6 = 1/3  (2)
S6 + S1 + S1a + S2 = 1/3  (3)
S1 + S1a + S2 + S3 + S3a + S4 + S5 + S5a + S6 + S7 = 1  (4)

(1) + (2) + (3) - (4),得,

S2 + S4 + S6 = S7  (5)

注意到附图的各组平行线,根据全等三角形的关系可知,

S1a = S3a = S5a = S7  (6)

S1 = 2S6,S3 = 2S2,S5 = 2S4  (7)

将 (6)、(7) 代入 (4),得,

3(S2 + S4 + S6) + 4S7 = 1  (8)

将 (5) 代入 (8),得,

S7 = 1/7

26楼的问题解决了,这个证明仍然成立。



感谢磁铁版主16楼提供的梅内劳斯定理。
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发表于 2007-12-29 20:34:07 | 显示全部楼层
看来还是楼主的答案最简单,根据边长的规律来推出面积
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发表于 2007-12-29 21:04:08 | 显示全部楼层
楼主的证明我看不懂,是因为对于任意三角形来说,这两个三角形不相似,如何可以用边长的比例来推断面积的比例。

图(1),FH // GK, FG // HK, AF = FG,所以三角形FGK全等于三角形KHF全等于三角形AFH

图(2),HK // LM, HL // KM,所以三角形KHM全等于三角形LMH

图(3),LN // GM, BG // ML, BG = GF = ML,所以三角形BMG全等于三角形MNL

太棒了,用磁铁版主16楼提供的梅内劳斯定理,可以证明出 AF = FG 和 BG = GF,于是,上述证明仍然成立,它们确实是全等三角形。

证明过程等会儿给出。

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发表于 2007-12-29 21:06:41 | 显示全部楼层
这两个三角形不相似,如何可以用边长的比例来推断面积的比例

不是有个公式吗?

海伦公式S=√(s*(s-a)*(s-b)*(s-c))
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发表于 2007-12-29 21:07:57 | 显示全部楼层
海伦公式
   海伦公式又译作希伦公式、海龙公式、希罗公式、海伦-秦九韶公式,传说是古代的叙拉古国王 希伦(Heron,也称海龙)二世发现的公式,利用三角形的三条边长来求取三角形面积。但根据Morris Kline在1908年出版的著作考证,这条公式其实是阿基米德所发现,以托希伦二世的名发表(未查证)。 我国宋代的数学家秦九韶也提出了“三斜求积术”,它与海伦公式基本一样。

  假设有一个三角形,边长分别为a、b、c,三角形的面积S可由以下公式求得:
  S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]
  而公式里的p为半周长:
  p=(a+b+c)/2
——————————————————————————————————————————————
  注:"Metrica"(《度量论》)手抄本中用s作为半周长,所以
  S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)] 和S=√[s(s-a)(s-b)(s-c)]两种写法都是可以的,但多用p作为半周长。
——————————————————————————————————————————————

  由于任何n边的多边形都可以分割成n-2个三角形,所以海伦公式可以用作求多边形面积的公式。比如说测量土地的面积的时候,不用测三角形的高,只需测两点间的距离,就可以方便地导出答案。

  证明(1):
  与海伦在他的著作"Metrica"(《度量论》)中的原始证明不同,在此我们用三角公式和公式变形来证明。设三角形的三边a、b、c的对角分别为A、B、C,则余弦定理为
cosC = (a^2+b^2-c^2)/2ab

S=1/2*ab*sinC
=1/2*ab*√(1-cos^2 C)
=1/2*ab*√[1-(a^2+b^2-c^2)^2/4a^2*b^2]
=1/4*√[4a^2*b^2-(a^2+b^2-c^2)^2]
=1/4*√[(2ab+a^2+b^2-c^2)(2ab-a^2-b^2+c^2)]
=1/4*√[(a+b)^2-c^2][c^2-(a-b)^2]
=1/4*√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)]

设p=(a+b+c)/2
则p=(a+b+c)/2, p-a=(-a+b+c)/2, p-b=(a-b+c)/2,p-c=(a+b-c)/2,

上式=√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)/16]
    =√[p(p-a)(p-b)(p-c)]
所以,三角型ABC面积S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]

  证明(2):
  我国宋代的数学家秦九韶也提出了“三斜求积术”。它与海伦公式基本一样,其实在《九章算术》中,已经有求三角形公式“底乘高的一半”,在实际丈量土地面积时,由于土地的面积并不是的三角形,要找出它来并非易事。所以他们想到了三角形的三条边。如果这样做求三角形的面积也就方便多了。但是怎样根据三边的长度来求三角形的面积?直到南宋,我国著名的数学家九韶提出了“三斜求积术”。
  秦九韶他把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜。“术”即方法。三斜求积术就是用小斜平方加上大斜平方,送到斜平方,取相减后余数的一半,自乘而得一个数小斜平方乘以大斜平方,送到上面得到的那个。相减后余数被4除冯所得的数作为“实”,作1作为“隅”,开平方后即得面积。
  所谓“实”、“隅”指的是,在方程px 2=qk,p为“隅”,Q为“实”。以△、a,b,c表示三角形面积、大斜、中斜、小斜,所以
q=1/4[c 2a 2-(c%| 2+a 2-b 2/2) 2]
当P=1时,△ 2=q,
S△=√{1/4[c 2a 2-(c 2+a 2-b 2/2) 2]}
因式分解
1/16[(c+a) 2-b 2][b62-(c-a) 2]
=1/16(c+a+b)(c+a-b)(b+c-a)(b-c+a)
=1/8S(c+a+b-2b)(b+c+a-2a)(b+a+c-2c)
=p(p-a)(p-b)(p-c)

由此可得:
S△=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]
其中p=1/2(a+b+c)
这与海伦公式完全一致,所以这一公式也被称为“海伦-秦九韶公式”。
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发表于 2007-12-30 01:53:54 | 显示全部楼层
对1楼的结果握还有疑问,还要请教shenxiu 兄。

S(xzy) / S(ABC) = (EC/AC) * (YE/BE) * (YX/YA) * (YZ/YE)

我总是推不出这个结果,不知为什么是这样?能否详细解释一下?先谢谢了。

上述公式的计算结果好像是不对的,EC/AC = 1/3,

根据梅内劳斯定理可以得到,

YE/BE = 4/7,YX/AD = YZ/BE = 3/7,YA/AD = 6/7,

YX/YA = YX/AD / YA/AD =1/2

YZ/YE = YZ/BE / YE/BE = 3/4

(EC/AC) * (YE/BE) * (YX/YA) * (YZ/YE) = 1/3 * 4/7 * 1/2 * 3/4 = 1/14

-------------------------------

  

下面对三角形DAC和射线BE使用梅内劳斯定理,得 DB/CB * CE/AE * AY/DY =1

由 CE/AE = 1/2,DB/CB = 1/3,得 AY/DY = 6,DY/AD = 1/7,AY/AD = 1 - DY/AD = 6/7,

(同理可得,DY/AD = EZ/BE = FX/CF = 1/7,AY/AD = BZ/BE = CX/CF = 6/7)

对三角形CBE和射线DA使用梅内劳斯定理,得 CA/EA * EY/BY * BD/CD =1

由 BD/CD = 1/2,CA/EA = 3/2,得 EY/BY = 4/3,EY/BE = 4/7,BY/BE = 1- EY/BE = 3/7,YZ/BE = EY/BE - EZ/BE = 3/7

(同理可得,AX/AD = BY/BE = CZ/CF = 3/7,XY/AD = YZ/BE = ZX/CF = 3/7)

因为 BY = YZ,FL//GY,GB//LY,所以三角形BYG全等于三角形YZL

因为 AX = XY,FL//GY,所以 AF = FG,S3 = 2S2

我们还可以进一步看到,因为 AX = XY,AF//XK,所以,FX = KY

可以画3条平行于 AB 的平行线分别通过 X、Y、Z点,它们的位置正好是从底边 AB 到 顶点 C 的距离的 1/7、2/7 和 4/7 处。

特别是,平行于 AB 且通过 Y 点的平行线与 XZ 的焦点正好在 L 处,XL/XZ = 1/3,对于其他两边有同样性质。

平行于 AB 且通过 Y 点的平行线与三角形 XYZ 的 ZX 相交,平行于 BC 且通过 Z 点的平行线与三角形 XYZ 的 XY 相交,平行于 CA 且通过 X 点的平行线与三角形 XYZ 的 YZ 相交,恰好是原作图法的继续,只是方向反一反,所形成的三角形的形状和原三角形相同,但各边长是原来的七分之一,并且占据在原三角形的中央,重心与原三角形重合!


-----------------------------------

不知谁知道,梅内劳斯定理是怎样证明的?

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发表于 2007-12-30 12:04:50 | 显示全部楼层
证法1应该就是用1楼的那个平行辅助线
证法2作垂线辅助线,做三个垂足
证法3直接用正弦定理

正弦定理怎么证明则好麻烦啊
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发表于 2007-12-30 12:19:20 | 显示全部楼层
继续来个知识拓展

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发表于 2007-12-30 13:04:20 | 显示全部楼层
引用第30楼bookish 于2007-12-30 01:53发表的 :
不知谁知道,梅内劳斯定理是怎样证明的?。
.......


最简单的证法就是1楼那个平行线辅助法,偶借1楼的图用一下:



(BC/BD)=(CE/MD)
(DY/YA)=(MD/AE)
把上面的两式相乘就得出:(BC/BD)×(DY/YA)×(AE/CE)=1乐
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发表于 2007-12-30 13:09:44 | 显示全部楼层
第二种证法就是在BE及其延长线上分别做D点、A点和C点对BE的垂足,然后出来三个比例等式,然后再把这三个等式相乘,得到上面三个比相乘=1的梅内劳斯式。
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发表于 2007-12-30 16:24:31 | 显示全部楼层
谢谢磁铁版主。32楼给出了证明梅内劳斯式的最简单的方法。

主题帖的题目还可以这样证明,

由29楼,有S(GYB)=S(XYZ),S(FGKX)=SAFX),并可以很方便地证明,S(XYZ)=3S(AFX),得,

S(ABY)=2S(XYZ)  (1)

同理可得,

S(BCZ)=2S(XYZ)  (2)

S(CAX)=2S(XYZ)  (3)

上述3式相加,得,

S(ABY)+S(BCZ)+S(CAX)=6S(XYZ)  (4)

因为 S(ABY)+S(BCZ)+S(CAX)+S(XYZ) = 1  (5)

所以(5)式减去(4)式,得到,

7S(XYZ)=1

S(XYZ)=1/7
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发表于 2007-12-30 18:37:29 | 显示全部楼层
终于看懂shenxiu兄的证明了。

见32楼附图,shenxiu兄已证明,

因为 MD//AC,所以

MD/CE = BD/BC = 1/3  (a)

MY/YE = MD/AE = MD/(AC - CE) = 1/6  (b)

6MY=YE  (1)

因为MD//CE,所以

BM/BE = BD/BC = 1/3  (2)

由 BM+ MY + YE = BE 和 (1)、(2)得到,

MY/BE = 2/21  (3)

BY/BE = BM/BE + MY/BE = 3/7

YE/BE = 1 - BY/BE = 4/7

shenxiu兄没有证明 ZE/BE = 1/7  (4)

S(ACD) = S(ABC) * AE/AC

S(XCD) = S(ACD) * XD/AD = S(ACD) * YE/BE

S(XYZ) = S(XCD) * XZ /XC * XY/XD = S(XCD) * YX /YA * YZ/YE (高和底边都缩小)

得到

S(XYZ) = S(ABC) * AE/AC * YE/BE * YX /YA * YZ/YE = 2/3 * 4/7 * 1/2 * 3/4 = 1/7
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发表于 2007-12-30 21:34:23 | 显示全部楼层


如果我用同样的辅助线做这题目,
大概是先说明
BY:YZ:ZE=CZ:ZX:XF=AX:XY:YD
然后根据所作辅助线算出BY:YZ=BY:YZ:ZE=3:3:1
易知Sbdy=1/21  则Sxyz=3Sbdy=1/7
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